Elettrotecnica/Grandezze periodiche non sinusoidali

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La ammissione, implicitamente fatta sin'ora, che i problemi relativi alle grandezze periodiche si limitino alla trattazione di circuiti interessati da grandezze semplicemente sinusoidali, trova nella pratica scarso riscontro. In effetti, per quanto si faccia , le inevitabili dissimetrie costruttive e di funzionamento del macchinario generatore, specie quello a poli salienti, comportano sempre un certo discostarsi della forma di onda della tensione da esso ottenibile dalla desiderata forma d'onda sinusoidale pura. D'altro canto la già notevole difficoltà della trattazione dei problemi in corrente alternasta verrebbe talmentee aggravata dalla considerazione della forma d'onda effettiva, che, in tutti quei casi, e sono la maggioranza, nei quali lo scarto tra l'andamento effettivo della tensione e l'andamento sinusoidale non è molto sensibile, si rinuncia ad ogni ulteriore precisione di indagine.
Esistono però dei casi nei quali non è assolutamente lecito confondere l'effettivo andamento nel tempo delle grandezze elettriche con funzioni sinusoidali; è con riferimento a questi casi che, in questa sede, verranno brevemente dati i cenni generali di come possono essere trattate grandezze elettriche periodiche di forma qualsiasi.
La trattazione prende lo spunto dal noto teorema di Fourier secondo il quale qualsiasi funzione continua di una variabile indipendenta può essere sviluppata in una serie indefinita di termini, ciacuno dei quali è una funzione sinusoidale della variabile, di frequenza crescente secondo la serie naturale dei numeri. Ciò che, con riferimento ad una funzione del tempo y(t), può esprimersi affermando che:

$\ y(t)=A_{0}+A_{1}sen(\omega t+\alpha _{1})+A_{2}sen(2\omega t+\alpha _{2})+.....$

dove:

$\ A_{0}={1 \over T}\int _{0}^{T}y\ dt$

è il valore medio della funzione.
I successivi termini della serie prendono ordinatamente il nome di armonica fondamentale, seconda, terza ecc. armonica.
Per la completa conoscenza della funzione y, comunque variabile nel tempo, risulta pertanto necessario e sufficiente conoscere le ampiezze e le fasi delle singole armoniche.
Senza entrare nel merito della trattazione analitica del problema diremo qui solo che, posto:

$\ S_{n}=A_{n}\ sen(\alpha _{n})\qquad C_{n}=A_{n}\ cos(\alpha _{n})$

La funzione y(t) può esprimersi nella forma:

$\ y(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{n=\infty }C_{n}\ sen(n\omega t)+\sum _{n=1}^{n=\infty }S_{n}\ cos(n\omega t)$

e che la coscenza dei termini C_n e S_n relativi all'armonica di ordine n è sufficiente alla completa definizione dell'armonica stessa.