Elettrotecnica/Grandezze periodiche non sinusoidali: differenze tra le versioni

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così che, nota la espressione analitica della '''y(t)''', la integrazione delle espressioni precedenti consente il calcolo dei coefficienti '''C<sub>n</sub>''' e '''S<sub>n</sub>''' per le armoniche di qualsiasi ordine e, per quel che si è visto, la determinazione della ampiezza e della fase di una armonica di ordine qualsiasi della funzione data.<br />
così che, nota la espressione analitica della '''y(t)''', la integrazione delle espressioni precedenti consente il calcolo dei coefficienti '''C<sub>n</sub>''' e '''S<sub>n</sub>''' per le armoniche di qualsiasi ordine e, per quel che si è visto, la determinazione della ampiezza e della fase di una armonica di ordine qualsiasi della funzione data.<br />
In pratica è raro il caso in cui sia nota la espressione analitica della funzione '''y(t)'''. Più frequente è il caso che della funzione in parola si conosca graficamente l'andamento nel tempo: ciò che può aversi, ad esempio, ogni qualvolta della funzione data possa ottenersi l'oscillogramma.<br />
In pratica è raro il caso in cui sia nota la espressione analitica della funzione '''y(t)'''. Più frequente è il caso che della funzione in parola si conosca graficamente l'andamento nel tempo: ciò che può aversi, ad esempio, ogni qualvolta della funzione data possa ottenersi l'oscillogramma.<br />
Si ricorre allora a metodi grafico-analitici tra i quali ricordiamo quello di '''Thompson''' in cui si usa, essenzialmente, per il calcolo dei coefficienti '''C<sub>n</sub>''' e '''S<sub>n</sub>''', l'artificio di ricondurre gli integrali a sommatorie di un numero finito di addendi.
Si ricorre allora a metodi grafico-analitici tra i quali ricordiamo quello di '''Thompson''' in cui si usa, essenzialmente, per il calcolo dei coefficienti '''C<sub>n</sub>''' e '''S<sub>n</sub>''', l'artificio di ricondurre gli integrali a sommatorie di un numero finito di addendi.<br />
Non abbiamo qui il tempo necessario alla completas esposizione del metodo e rinviamo ai tgesti di elettrotecnica per un più approfondito esame dell'argomento.<br />
Notgiamo solo che la laboriosità di metodi consimili ha portato, nella tecnica delle misure elettriche, allo sviluppo di speciali apparecchi che prendono, appunto, il nome di analizzatori di armoniche, per mezzo dei quali è possibile di una data tensione o corrente, individuare il contenuto armonico fino ad ordini sufficientemente elevati e con precisioni che tenuto conto dei possibili errori di graficismo sono spesso dell'ordfine di grandezza, se non maggiori, di quelli ottenibili con i citati metodi grafico-analitici.


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La ammissione, implicitamente fatta sin'ora, che i problemi relativi alle grandezze periodiche si limitino alla trattazione di circuiti interessati da grandezze semplicemente sinusoidali, trova nella pratica scarso riscontro. In effetti, per quanto si faccia , le inevitabili dissimetrie costruttive e di funzionamento del macchinario generatore, specie quello a poli salienti, comportano sempre un certo discostarsi della forma di onda della tensione da esso ottenibile dalla desiderata forma d'onda sinusoidale pura. D'altro canto la già notevole difficoltà della trattazione dei problemi in corrente alternasta verrebbe talmentee aggravata dalla considerazione della forma d'onda effettiva, che, in tutti quei casi, e sono la maggioranza, nei quali lo scarto tra l'andamento effettivo della tensione e l'andamento sinusoidale non è molto sensibile, si rinuncia ad ogni ulteriore precisione di indagine.
Esistono però dei casi nei quali non è assolutamente lecito confondere l'effettivo andamento nel tempo delle grandezze elettriche con funzioni sinusoidali; è con riferimento a questi casi che, in questa sede, verranno brevemente dati i cenni generali di come possono essere trattate grandezze elettriche periodiche di forma qualsiasi.
La trattazione prende lo spunto dal noto teorema di Fourier secondo il quale qualsiasi funzione continua di una variabile indipendenta può essere sviluppata in una serie indefinita di termini, ciacuno dei quali è una funzione sinusoidale della variabile, di frequenza crescente secondo la serie naturale dei numeri. Ciò che, con riferimento ad una funzione del tempo y(t), può esprimersi affermando che:


dove:


è il valore medio della funzione.
I successivi termini della serie prendono ordinatamente il nome di armonica fondamentale, seconda, terza ecc. armonica.
Per la completa conoscenza della funzione y, comunque variabile nel tempo, risulta pertanto necessario e sufficiente conoscere le ampiezze e le fasi delle singole armoniche.
Senza entrare nel merito della trattazione analitica del problema diremo qui solo che, posto:


La funzione y(t) può esprimersi nella forma:


e che la coscenza dei termini Cn e Sn relativi all'armonica di ordine n è sufficiente alla completa definizione dell'armonica stessa.
Infatti è chiaramente:


Nello stesso teorama di Fourier precedentemente citato, è dimostrato che i termini Cn e Sn assumono le seguenti espressioni in funzione della y(t):



così che, nota la espressione analitica della y(t), la integrazione delle espressioni precedenti consente il calcolo dei coefficienti Cn e Sn per le armoniche di qualsiasi ordine e, per quel che si è visto, la determinazione della ampiezza e della fase di una armonica di ordine qualsiasi della funzione data.
In pratica è raro il caso in cui sia nota la espressione analitica della funzione y(t). Più frequente è il caso che della funzione in parola si conosca graficamente l'andamento nel tempo: ciò che può aversi, ad esempio, ogni qualvolta della funzione data possa ottenersi l'oscillogramma.
Si ricorre allora a metodi grafico-analitici tra i quali ricordiamo quello di Thompson in cui si usa, essenzialmente, per il calcolo dei coefficienti Cn e Sn, l'artificio di ricondurre gli integrali a sommatorie di un numero finito di addendi.
Non abbiamo qui il tempo necessario alla completas esposizione del metodo e rinviamo ai tgesti di elettrotecnica per un più approfondito esame dell'argomento.
Notgiamo solo che la laboriosità di metodi consimili ha portato, nella tecnica delle misure elettriche, allo sviluppo di speciali apparecchi che prendono, appunto, il nome di analizzatori di armoniche, per mezzo dei quali è possibile di una data tensione o corrente, individuare il contenuto armonico fino ad ordini sufficientemente elevati e con precisioni che tenuto conto dei possibili errori di graficismo sono spesso dell'ordfine di grandezza, se non maggiori, di quelli ottenibili con i citati metodi grafico-analitici.