Fisica classica/Suono: differenze tra le versioni
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==Suono== |
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=== Fluidi === |
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Nei fluidi la pressione rappresenta la forza di |
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richiamo elastico che permette la propagazione del suono. Il suono in tali mezzi è un'onda di pressione o se si vuole di densità |
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a causa della equazione di stato dei fluidi. Le uniche onde possibili nei |
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fluidi sono quelle longitudinali, cioè lungo la direzione di |
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propagazione dell'onda stessa. |
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La velocità del suono nei fluidi è isotropa ed indipendente dalla frequenza: |
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:<math>v_s=\sqrt {\frac B{\rho}}\ </math> |
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Dove <math>\rho\ </math> è la [[w:Densit%C3%A0|densità]] del fluido e <math>B\ </math> è il coefficiente di compressione [[w:Trasformazione_adiabatica|adiabatico]], definito come: |
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:<math>B=- \left. \rho \frac {\partial p}{\partial \rho}\right|_{adiabatica} </math> |
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Dove <math>p\ </math> la [[w:Pressione|pressione]]. |
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Nel caso dei gas perfetti <math>B=\gamma p\ </math> |
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dove <math>\gamma \ </math> è pari al rapporto tra il [[w:Calore_specifico|calore specifico]] a pressione e volume costante <math>\gamma =c_p/c_v\ </math>. |
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La presenza del coefficiente di compressione adiabatico si spiega |
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con la rapidità dei fenomeni acustici che avvengono senza scambi |
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di calore tra strati vicini (quindi adiabatici). Nei fluidi non vi |
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è nessuna forza di richiamo elastica nella direzione |
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perpendicolare al moto, infatti in tale direzione agisce solo la |
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viscosità che in nessun caso è approssimabile come una forza |
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elastica. Per questa ragione non esistono onde acustiche trasversali come |
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nei solidi. |
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=== Solidi === |
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Nei solidi la forza che mantiene gli atomi nelle posizioni |
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cristalline è in prima approssimazione elastica ed agisce sia |
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nella direzione longitudinale (come nei fluidi) che nella direzione |
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perpendicolare alla propagazione del suono, per questo nei solidi |
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parliamo di onde longitudinali e trasversali. A seconda della |
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direzione cristallina che stiamo considerando le onde hanno forze di |
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richiamo diverse, per questa ragione nei solidi il suono è |
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anisotropo, cioè dipende dalla direzione. Quindi più simmetrico |
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è il solido (cubico) minore è il numero dei parametri |
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indipendenti che servono a caratterizzare le onde acustiche ed |
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ovviamente al contrario il numero dei parametri indipendenti cresce |
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via via che diminuisce il grado di simmetria del solido. Il modulo |
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elastico è un [[w:Tensore|tensore]] che dipende sia dalla direzione dei piani |
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cristallini, che dalla direzione degli sforzi su quei piani. Questo |
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complica da un punto di vista matematico la trattazione esatta del |
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problema. |
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Nei fluidi come nei solidi quando la lunghezza d'onda diventa |
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paragonabile alla spaziatura interatomica il carattere discreto |
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della materia non può essere più trascurato e in realtà esiste |
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una lunghezza d'onda minima e quindi una frequenza massima sia nei |
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solidi che nei fluidi. Studiamo i solidi dal punto di vista |
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discreto considerando gli atomi discreti e tenuti insieme da forze |
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di richiamo elastico. |
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[[Image:Unidimensional_solid.png|thumb|350px|right|Rappresentazione di un solido unidimensionale <br> |
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Figura in alto il [[w:Reticolo_cristallino|reticolo cristallino]] nello spazio reale con spaziatura a <br> |
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Figura in basso il [[w:Reticolo_reciproco|reticolo reciproco]] <br> ]] |
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In tutti solidi in prima approssimazione detta <math>\vec {r_o}\ </math> |
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la posizione di equilibrio del generico atomo ed <math>\vec r\ </math> la sua posizione ad un tempo qualsiasi. |
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Sarà soggetto ad una |
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forza di richiamo elastico rappresentata dalla [[w:Legge_di_Hook|legge di Hooke]]: |
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:<math>\vec F=-\alpha (\vec r-\vec {r_o})\ </math> |
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Dove si è definito con <math>\alpha\ </math> il coefficiente di elasticità. |
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La dinamica risultante è quella di un moto |
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armonico. Nei cristalli reali tale forza di richiamo elastico è |
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nelle tre direzioni ed il moto oscillatorio è tridimensionale. |
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Approfondiamo il moto in una |
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sola dimensione il modello è quello mostrato nella figura a fianco. |
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Consideriamo quindi una catena di atomi di massa <math>m\ </math> disposti secondo |
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un [[w:Reticolo_cristallino|reticolo]] unidimensionale: in alto nello |
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spazio diretto, in basso è mostrato [[w:Reticolo_reciproco|reticolo reciproco]]. |
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Chiamiamo la distanza tra primi vicini sia <math>a\ </math>. In realtà è |
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possibile il moto degli atomi sia nella direzione longitudinale, che |
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in quella trasversale. |
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All'equilibrio la forza agente sull'atomo n-esimo deve essere nulla: |
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:<math>F_n=ma_n=0\ </math> |
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Inoltre la posizione dell'atomo n-esimo all'equilibrio vale: |
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:<math>na\ </math> |
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Se definiamo <math>u_n\ </math> l'allontanamento dalla posizione di equilibrio dell'atomo n-esimo: |
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:<math>x_n=na+u_n\ </math> |
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La forza che agirà sull'atomo n-esimo sarà: |
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:<math>F_n=\alpha(x_{n+1}-x_n)-\alpha(x_{n}-x_{n-1})=\alpha(u_{n+1}-u_n)-\alpha(u_{n}-u_{n-1}) |
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=\alpha(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)\ </math> |
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Quindi la seconda legge della dinamica per l'n-esimo atomo viene scritta come: |
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:{{Equazione|eq=<math>m\frac {\partial^2u_n}{\partial t^2}=\alpha(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)\ </math>|id=1}} |
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Per dare un maggiore senso fisico all'ultima equazione. Consideriamo il caso particolare di onde lunghe cioè soluzioni di tale equazione con <math>\lambda >> a\ </math>, la derivata spaziale prima di <math>u\ </math> vale circa: |
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:<math>\frac {\partial u}{\partial x}\approx \frac {u_{n+1}-u_n}a\ </math> |
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e di conseguenza: |
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:<math>\frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\approx \frac {\frac {u_{n+1}-u_n}a-\frac {u_{n}-u_{n-1}}a}a=\frac {u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n}{a^2}\ </math> |
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Quindi l'eq.1 per le onde lunghe è scrivibile anche come: |
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:<math>m\frac {\partial^2u_n}{\partial t^2}=\alpha a^2 \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\ </math> |
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:<math>\frac {\partial^2u_n}{\partial t^2}=\frac {\alpha}m a^2 \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\ </math> |
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Cioè l'equazione delle onde unidimensionale con: |
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:<math>v=a\sqrt {\frac {\alpha}m}\ </math> |
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Per studiare il caso più generale ritorniamo alla eq.1 considerando la soluzione generale: |
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un'onda piana del tipo: |
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:{{Equazione|eq=<math>u_n=Ae^{i(kna+\omega t)}\ </math>|id=2}} |
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dove <math>A\ </math> è l'ampiezza, <math>k\ </math> il numero d'onda ed <math>\omega\ </math> la |
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pulsazione. Sostituendo tale soluzione (eq.2) nella equazione della dinamica (eq. 1) |
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si ha che: |
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:<math>-\omega^2 u_n=\alpha \left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n \right)\ </math> |
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Con semplici passaggi trigonometrici si ha quindi che: |
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:{{Equazione|eq=<math>\omega^2=4\frac {\alpha}m\sin^2 (ka/2)\ </math>|id=3}} |
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Notiamo che se avessimo usato una onda piana regressiva: |
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:{{Equazione|eq=<math>u_n=Ae^{-i(kna+\omega t)}\ </math>|id=4}} |
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Avremmo trovato la stessa identica tra <math>\omega \ </math> e <math>k\ </math>: detta comunemente relazione di dispersione. Quindi anche una combinazione lineare di due |
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soluzioni di tale tipo è ancora soluzione cioè: |
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:<math>u_n=Ae^{-i(kna+\omega t)}+Ae^{i(kna+\omega t)}=2A \cos (kna+\omega |
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t)\ </math> |
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Gli atomi nel tempo descrivono un moto armonico intorno |
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alla posizione di equilibrio. |
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Nei solidi sono possibili allontanamenti dalla direzione di equilibrio, non solo nella direzione longitudinale, |
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ma anche in quella trasversale. Infatti anche nella direzione trasversale vi è una forza di richiamo elastico, ma in |
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genere con un coefficiente di elasticità minore. |
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La pulsazione: |
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:<math>\omega_m=\sqrt{4\alpha/m}\ </math> |
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rappresenta la pulsazione massima. La ragione di tale pulsazione o se si vuole frequenza massima deriva dal carattere discreto degli atomi. Tali frequenze massime cadono |
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nei solidi reali a frequenze paragonabili a quelle che nelle onde |
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e.m. si chiamano microonde o lontano infrarosso. |
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Solo per frequenze molto basse (lunghezze d'onda grandi) la relazione di dispersione tra |
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<math>\omega \ </math> e <math>k\ </math> è lineare e la pendenza è la velocità del |
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suono. Matematicamente vuol dire che se <math>ka/2\ll 1\ </math> posso |
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approssimare il seno con il suo argomento nella eq.3 per |
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cui: |
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:<math>\omega \approx\sqrt{\frac {\alpha}m}ak</math> |
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Dove la velocità del suono è <math>v=\sqrt{\frac |
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{\alpha}m}a\ </math> |
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[[Categoria:Fisica classica|Suono]] |
Versione delle 13:29, 9 set 2011
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