Matematica per le superiori/L'iperbole: differenze tra le versioni

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:<math> -4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math>
:<math> -4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math>
:<math> c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2 \,</math>
:<math> c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2 \,</math>
:<math> x^2(c^2-a^2) -a^2y^2 = a^2c^2 -a^2 \,</math>
:<math> x^2(c^2-a^2) -a^2y^2 = a^2c^2 -a^4 \,</math>
:<math> \frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}</math>
:<math> \frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}</math>
:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{c^2-a^2} = 1</math>
:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{c^2-a^2} = 1</math>

Versione delle 12:26, 2 ott 2011

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo .

Sviluppando avremo:

Per comodità possiamo porre:

e avremo quindi:

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

Centro e punti notevoli

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

I vertici saranno pertanto: e

Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta . L'equazione diventerà quindi:

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:


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