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:<math> -4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math> |
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:<math> -4cx -4a^2 = 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}</math> |
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:<math> c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2 \,</math> |
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:<math> c^2x^2 +a^4 +2a^2cx = a^2x^2 +a^2c^2 +2a^2cx +a^2y^2 \,</math> |
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:<math> x^2(c^2-a^2) -a^2y^2 = a^2c^2 -a^2 \,</math> |
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:<math> x^2(c^2-a^2) -a^2y^2 = a^2c^2 -a^4 \,</math> |
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:<math> \frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}</math> |
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:<math> \frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)} -\frac{a^2y^2}{a^2(c^2-a^2)} = \frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}</math> |
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:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{c^2-a^2} = 1</math> |
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:<math> \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{c^2-a^2} = 1</math> |
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Equazione generica
Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:
L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:
Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo .
Sviluppando avremo:
Per comodità possiamo porre:
e avremo quindi:
Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.
Centro e punti notevoli
Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:
Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:
I vertici saranno pertanto: e
Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate
Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta . L'equazione diventerà quindi:
Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:
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