Fisica classica/Potenziale elettrico: differenze tra le versioni

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==Potenziale elettrico==
==Potenziale elettrico==
[[Image:Two_points_connect_in_two_way.png|thumb|250px|right|Due diversi percorsi che connettono
[[Immagine:Two_points_connect_in_two_way.png|thumb|250px|right|Due diversi percorsi che connettono
due punti dello spazio]]
due punti dello spazio]]
Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:
Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:
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Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.
Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.


===Dal Potenziale elettrico al campo elettrico===
===Dal potenziale elettrico al campo elettrico===
Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:
Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:


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<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math>
<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math>


===Il dipolo elettrico===
==Il dipolo elettrico==
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
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<math>V=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\ </math>
<math>V=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\ </math>
[[Immagine:VFPt_dipole_electric.svg|thumb|300px|right|Linee del campo elettrico di un dipolo]]


Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
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<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>


Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo.
È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:
È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:


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Due esercizi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_dipolo|A]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Dipoli_differenza_di_potenziale|B]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo.
Due esercizi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_dipolo|A]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Dipoli_differenza_di_potenziale|B]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo.


[[Immagine:Dipolo_en_campo_electrico_uniforme.png|thumb|350px|right|Forze agenti su un dipolo da parte di un campo elettrico uniforme]]
===Unità di misura ed ordini di grandezza===
=== Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici===
Dato un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno come tutti i sistemi rigidi bisogna considera la forza risultante ed il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Ben diverso è il caso del momento infatti se il dipolo ha una angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:

<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math>

Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo.
Poichè <math>|F|=q|E|\,\!</math> e <math>|p|=(2a)(q)\,</math>, si ha che:

<math>|\tau| = 2aq|E |\sin \theta = pE\sin \theta \,</math>

Per questa ragione un dipolo elettrico immerso in un campo esterno uniforme <math>\scriptstyle \vec E</math>, è soggetto a un momento che tende ad allinearlo alla direzione del campo:

<math>\boldsymbol\tau=\vec p \times \vec E</math>

Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U.

Se <math>\theta \,\!</math> nella figura (a) ha il valore iniziale <math>{\theta }_0\,\!</math>, il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino ad un angolo <math>\theta \,\!</math> è:


<math>U=W=\int dW = \int_{{\theta}_0}^{\theta} \tau d\theta =\int_{{\theta}_0}^{\theta} pE\sin \theta d\theta = pE\int_{{\theta}_0}^{\theta}\sin \theta d\theta=-pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]</math>

Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º. Tale scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e direzione del campo ed il massimo quando è allineato nella direzione del campo ma con verso opposto.
Si ha che:

<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math>

O in forma vettoriale

<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>

Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più compilcata in quanto la risulatante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto
il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. In generale la dinamica è molto complicata. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo avviene rapidamente rispetto al moto di trascinamento. Vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse
delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si allineato il dipolo.
Assunta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
e quella della positiva <math>a\ </math>.
La risultante della forza sarà quindi:

<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math>

Se la variazione di <math>E_x\ </math> non è troppo brusca:

<math>E_x(-a)\approx E_x(0)-\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>

<math>E_x(a)\approx E_x(0)+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>

Quindi:

<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>

Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle fotocopiatri per trascinare il toner sulla carta.

==Unità di misura ed ordini di grandezza==
La dimensione fisica del potenziale elettrico equivale al rapporto tra l'energia e la quantità di carica elettrica,
La dimensione fisica del potenziale elettrico equivale al rapporto tra l'energia e la quantità di carica elettrica,
quindi l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detto [[w:Volt|Volt]] ed equivale a [[w:Joule|Joule]] diviso [[w:Coulomb|Coulomb]]:
quindi l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detto [[w:Volt|Volt]] ed equivale a [[w:Joule|Joule]] diviso [[w:Coulomb|Coulomb]]:

Versione delle 13:32, 27 gen 2012

Argomento precedente: La legge di Gauss

Potenziale elettrico

Due diversi percorsi che connettono due punti dello spazio

Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:

non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi di integrazione. Questa è una conseguenza del fatto che la forza elettrica è centrale. Quindi, analogamente all'energia potenziale, possiamo definire differenza di potenziale elettrico (d.d.p) presente tra i punti a e b:

Carica puntiforme

Consideriamo, un caso particolare, il campo elettrico generato da una carica puntiforme posta nell'origine delle coordinate, come abbiamo visto vale:

Sostituendo, questa espressione, nella equazione precedente:

dove è l'angolo compreso tra i vettori e . Il prodotto , rappresenta la proiezione lungo di , quindi :

Quindi:

Se e poniamo che :

Quindi assunto che all'infinito il potenziale sia nullo (una scelta arbitraria) e cambiando il nome di in :

Varie cariche puntiformi

Se la distribuzione delle cariche è limitata nello spazio è sempre possibile assumere che il potenziale all'infinito sia nullo. Immaginando di avere cariche disposte ciascuna nella posizione di raggio vettore (applicando il principio di sovrapposizione degli effetti) l'espressione del potenziale elettrico, nel punto individuato dal raggio vettore , diventa:

Essendo V una funzione scalare, il calcolo del potenziale è molto più semplice.

Caso continuo

Con ovvie estensioni al caso continuo, nel caso di distribuzione di cariche su una linea con densità lineare :

Dove è il vettore posizione del generico elementino .

Con ragionamenti analoghi per distribuzione superficiale:

e per distribuzione volumetrica:

Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.

Dal potenziale elettrico al campo elettrico

Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:

Cioè la d.d.p. elettrico tra 2 punti, in coordinate cartesiane (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz), è pari all'opposto del prodotto scalare tra il campo elettrico e lo spostamento infinitesimo sulla traiettoria:

Ma d'altro canto, secondo la definizione di differenziale, vale:

Quindi:

; ; ;

Ricordando che abbiamo definito (detto Nabla) come:

Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere in maniera più compatta come:

Il dipolo elettrico

Un dipolo elettrico

Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte: e , poste come nella figura a fianco a distanza . Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico :

Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.

Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto distante dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:

Se ed (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche , e se indichiamo con l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione , si può scrivere:

ed anche:

Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:

Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta:

Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta.

Nel caso particolare mostrato nella figura assunto come asse delle la direzione del dipolo, in coordiate cartesiane, essendo , tale espressione diventa:

Linee del campo elettrico di un dipolo

Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:

Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo. È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:

Due esercizi A, B possono servire a chiarire il concetto di dipolo.

Forze agenti su un dipolo da parte di un campo elettrico uniforme

Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici

Dato un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno come tutti i sistemi rigidi bisogna considera la forza risultante ed il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Ben diverso è il caso del momento infatti se il dipolo ha una angolo con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:

Il momento si è indicato con la notazione anglosassone , per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo. Poichè e , si ha che:

Per questa ragione un dipolo elettrico immerso in un campo esterno uniforme , è soggetto a un momento che tende ad allinearlo alla direzione del campo:

Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U.

Se nella figura (a) ha il valore iniziale , il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino ad un angolo è:


Se si assume che l'energia potenziale è nulla per =90º. Tale scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e direzione del campo ed il massimo quando è allineato nella direzione del campo ma con verso opposto. Si ha che:

O in forma vettoriale

Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più compilcata in quanto la risulatante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. In generale la dinamica è molto complicata. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo avviene rapidamente rispetto al moto di trascinamento. Vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse delle la direzione locale del campo elettrico su cui si allineato il dipolo. Assunta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà e quella della positiva . La risultante della forza sarà quindi:

Se la variazione di non è troppo brusca:

Quindi:

Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle fotocopiatri per trascinare il toner sulla carta.

Unità di misura ed ordini di grandezza

La dimensione fisica del potenziale elettrico equivale al rapporto tra l'energia e la quantità di carica elettrica, quindi l'unita di misura nel Sistema Internazionale è detto Volt ed equivale a Joule diviso Coulomb:

Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come , ma si preferisce indicarla in .

I campi elettrici sono estremante difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente. Campi elettrici dell'ordine di qualche nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un plasma. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità.

Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di Volt a centinaia di Volt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono estremamente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di Volt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.

La carica dell'elettrone di circa , la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il Coulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche , ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche Km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a , la densità di carica presente nell'aria in una giornata serena è di appena un ordine di grandezza inferiore a tale unità.

Energia potenziale elettrica

In condizioni statiche, l'intera energia del sistema di cariche esiste solo come energia potenziale. Tale energia è il lavoro richiesto per formare una certa distribuzione di cariche.

Se possiedo semplicemente due cariche e e proviamo ad avvicinarle alla distanza a partire da una distanza infinita, la differenza di energia potenziale posseduta dal sistema, nella condizione finale rispetto alla condizione iniziale è evidentemente:

Si può estendere il ragionamento ad un sistema di cariche poste a distanza reciproca . Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:

(1)


Il valore 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie considerate due volte, una volta scambiati i e j. Nel caso di distribuzione continua di cariche la formula generale è di poca utilità ed è più semplice affrontare il problema da un punto di vista fisico.

Caso di una sfera uniformemente carica

Immaginiamo di voler costruire una sfera uniformemente carica di raggio e carica totale . Immaginiamo di assemblarla successivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume . Il processo di costruzione inizia con la sfera di raggio e finisce con la sfera di raggio .

La densità di carica vale ovviamente:

Quindi quando la sfera ha un raggio con il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo vale:

(2)


Dove è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale :

Esplicitando l'eq. 2:

Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ed R si ha:

(3)

Conservatività del campo elettrostatico

A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da a . Se in particolare coincide con , cioè il cammino è una linea chiusa si ha che:

Cioè la circuitazione del campo elettrostatico lungo una linea chiusa è identicamente nullo. Tale proprietà è una proprietà integrale cioè riguarda una porzione macroscopica in cui tale campo è definito, ma vale qualunque sia la linea chiusa che noi consideriamo.

Il prodotto vettoriale di con il generico vettore viene chiamato rotore:

Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Se abbiamo un corpo rigido che ruota con velocità angolare costante attorno ad un asse, il rotore del campo delle velocità istantanee è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione con intensità . Mentre se lo stesso oggetto si muove di moto traslatorio il vettore del campo vettoriale velocità è nullo,

Si dimostra analiticamente, Teorema di Stokes che la circuitazione di un generico vettore attraverso una linea chiusa che delimita una superficie aperta vale esattamente:

Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in uno di superficie.

Nel caso specifico della circuitazione del campo Elettrostatico:

Dove è una qualsiasi superfice aperta che ha come contorno la linea .

Ma poiché l'ultima identità vale qualsiasi sia la superfice , per verificare tale condizione occorre che l'integrando sia identicamente nullo:

Questa è la relazione locale del campo elettrostatico.

Argomento seguente: Conduttori