Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica: differenze tra le versioni

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=== Un filo di materiale conduttore ===
=== Un filo di materiale conduttore ===
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=== Un faro abbagliante ===
=== Un faro abbagliante ===
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=== Un condensatore carico ===
=== Un condensatore carico ===
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=== Tre resistenze ===
=== Tre resistenze ===
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=== Carica di un condensatore ===
=== Carica di un condensatore ===
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=== Due generatori di f.e.m. ===
=== Due generatori di f.e.m. ===
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=== Tre generatori su una resistenza R ===
=== Tre generatori su una resistenza R ===
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=== RC con r interna ===
=== RC con r interna ===
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=== Telefonino semiscarico ===
=== Telefonino semiscarico ===
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=== Carica condensatore con 2 R ===
=== Carica condensatore con 2 R ===
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=== Scarica condensatore con 2 R ===
=== Scarica condensatore con 2 R ===
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=== Due generatori reali su una R variabile ===
=== Due generatori reali su una R variabile ===
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=== Due condensatori con una resistenza ===
=== Due condensatori con una resistenza ===
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=== ES1 ===
=== ES1 ===
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=== Resistenze serie parallelo ===
=== Resistenze serie parallelo ===
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=== Generatori_serie_parallelo ===
=== Generatori serie parallelo ===
Un generatore di f.e.m. (<math>f_1\ </math> e resistenza interna <math>r_1\ </math>) e posto in serie ad un altro generatore con <math>f_2\ </math>, <math>r_2\ </math> (non noti) ed entrambi alimentano una resistenza <math>R\ </math> (costituiscono una maglia). Se i morsetti sono collegati in una polarità la corrente che scorre è <math>I_A\ </math>, collegando i morsetti di <math>f_1\ </math> in direzione opposta la corrente che scorre cambia verso e diviene <math>I_B\ </math>.
Un generatore di f.e.m. (<math>f_1\ </math> e resistenza interna <math>r_1\ </math>) e posto in serie ad un altro generatore con <math>f_2\ </math>, <math>r_2\ </math> (non noti) ed entrambi alimentano una resistenza <math>R\ </math> (costituiscono una maglia). Se i morsetti sono collegati in una polarità la corrente che scorre è <math>I_A\ </math>, collegando i morsetti di <math>f_1\ </math> in direzione opposta la corrente che scorre cambia verso e diviene <math>I_B\ </math>.


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=== Scarica di un condensatore con due generatori ===
=== Scarica di un condensatore con due generatori ===
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=== Una nuvola di pioggia ===
=== Una nuvola di pioggia ===
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=== Filo a tronco di cono ===
=== Filo a tronco di cono ===
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1)
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=== Un filo di materiale conduttore ===
=== Un filo di materiale conduttore ===
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Ovviamente:
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=== Un faro abbagliante ===
=== Un faro abbagliante ===
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Essendo un oggetto ohmico:
Essendo un oggetto ohmico:
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=== Un condensatore carico ===
=== Un condensatore carico ===
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a)
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=== Tre resistenze ===
=== Tre resistenze ===
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Da come è fatto il circuito l'elemento critico è la resistenza <math>R_3\ </math>, in quanto in esso scorre tutta la corrente.
Da come è fatto il circuito l'elemento critico è la resistenza <math>R_3\ </math>, in quanto in esso scorre tutta la corrente.
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=== Carica di un condensatore ===
=== Carica di un condensatore ===
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Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:
Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:
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=== Due generatori di f.e.m. ===
=== Due generatori di f.e.m. ===
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Se definiamo rispettivamente <math>I_1\ </math>, <math>I_2\ </math> ed <math>I\ </math> le correnti nei tre rami, tutte in senso
Se definiamo rispettivamente <math>I_1\ </math>, <math>I_2\ </math> ed <math>I\ </math> le correnti nei tre rami, tutte in senso
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=== Tre generatori su una resistenza R ===
=== Tre generatori su una resistenza R ===
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Applicando il teorema di Thevenin ai generatori 1 e 2, diventano
Applicando il teorema di Thevenin ai generatori 1 e 2, diventano
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=== RC con r interna ===
=== RC con r interna ===
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Nel transitorio iniziale la capacità si comporta come un corto circuito
Nel transitorio iniziale la capacità si comporta come un corto circuito
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=== Telefonino semiscarico ===
=== Telefonino semiscarico ===
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Dai dati del problema nel primo caso il generatore fornisce
Dai dati del problema nel primo caso il generatore fornisce
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=== Carica condensatore con 2 R ===
=== Carica condensatore con 2 R ===
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Nell'istante iniziale il condensatore si comporta come un corto circuito per cui la corrente che fornisce il generatore è massima:
Nell'istante iniziale il condensatore si comporta come un corto circuito per cui la corrente che fornisce il generatore è massima:
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=== Scarica condensatore con 2 R ===
=== Scarica condensatore con 2 R ===
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La carica iniziale vale:
La carica iniziale vale:
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=== Due generatori reali su una R variabile ===
=== Due generatori reali su una R variabile ===
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Detta <math>I_1\ </math> la corrente nel ramo di <math>f_1\ </math>, <math>I_2\ </math> la corrente
Detta <math>I_1\ </math> la corrente nel ramo di <math>f_1\ </math>, <math>I_2\ </math> la corrente
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=== Due condensatori con una resistenza ===
=== Due condensatori con una resistenza ===
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La carica iniziale del primo condensatore vale:
La carica iniziale del primo condensatore vale:
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=== ES1 ===
=== ES1 ===
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a)
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=== Resistenze serie parallelo ===
=== Resistenze serie parallelo ===
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Dai dati del problema:
Dai dati del problema:
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=== Generatori_serie_parallelo ===
=== Generatori serie parallelo ===
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a) Essendo <math>|I_A|>|I_B|\ </math> il caso indipendentemente dal valore della f.e.m. dei due generatori implica che sono disposti con i morsetti <math>-+-+\ </math>, quindi:
a) Essendo <math>|I_A|>|I_B|\ </math> il caso indipendentemente dal valore della f.e.m. dei due generatori implica che sono disposti con i morsetti <math>-+-+\ </math>, quindi:
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=== Scarica di un condensatore con due generatori ===
=== Scarica di un condensatore con due generatori ===
[[#Scarica di un condensatore con due generatori| Vai alla traccia]]
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Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:
Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:
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=== Una nuvola di pioggia ===
=== Una nuvola di pioggia ===
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Versione delle 22:34, 14 feb 2012


Esercizi

Filo a tronco di cono

Un filo conduttore di rame di lunghezza , (ad esempio a causa della corrosione) è ben descritto da un tronco di cono che inizia con una sezione di raggio e finisce con un raggio in maniera lineare. Se il filo è percorso da una corrente . Determinare:

  1. Il campo elettrico massimo e minimo nel filo.
  2. la resistenza del filo.
  3. La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale

.

(dati del problema , , , , , )

1 campo elettrico massimo e minimo nel filo

       
       
       
       

2 resistenza del filo
La soluzione è approssimata alla terza cifra dopo la virgola

3 massima corrente che può scorrere

10A
100A
1000A
15A

→ Vai alla soluzione

Un filo di materiale conduttore

Un filo di materiale conduttore di raggio , resistività ha una lunghezza . Determinare a) la resistenza del filo, b) la potenza massima dissipabile per unità di volume sapendo che la massima corrente che può passare vale e c) se la velocità di drift dei portatori di carica per tale valore della corrente vale quale è la densità dei portatori?

(dati del problema , , , , ).


→ Vai alla soluzione

Un faro abbagliante

Calcolare la resistenza a caldo e a freddo di un faro abbagliante di una automobile da alimentato con . Il tungsteno di cui è fatto il filamento ha un coefficiente di temperatura .


→ Vai alla soluzione

Un condensatore carico

Le armature di un condensatore di capacità sono portate ad una differenza di potenziale . A questo punto attraverso una resistenza una armatura viene connessa alla armatura di un condensatore scarico di capacità . Le altre due armature erano in contatto sin dall'inizio. Determinare:

a) L'energia elettrostatica dissipata nella resistenza in tale processo.

b) La costante di tempo del processo di scarica/carica (a seconda di quale condensatore si considera).

(dati del problema , , )


→ Vai alla soluzione

Tre resistenze

Ciascuna delle tre resistenze della figura () può dissipare al massimo ; quale è la corrente massima e di conseguenza la potenza totale dissipata dalle tre resistenze?

(Dati del problema , )


→ Vai alla soluzione

Carica di un condensatore

All'istante viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Calcolare la differenza di potenziale presente ai capi del condensatore dopo dalla chiusura dell'interruttore

(Dati del problema , , , )


→ Vai alla soluzione

Due generatori di f.e.m.

Determinare nel circuito mostrato in figura la corrente che scorre nella resistenza e la potenza fornita dai due generatori.

(Dati del problema , , , )


→ Vai alla soluzione

Tre generatori su una resistenza R

Determinare nel circuito mostrato in figura la corrente che scorre nella resistenza e la corrente che scorre nel generatore più a destra.

(Dati del problema , , , , , , ,)


→ Vai alla soluzione

RC con r interna

Ai capi di una resistenza ed un condensatore in serie viene posto un generatore di f.e.m. di valore . All'istante iniziale la potenza dissipata nella resistenza vale . Trascorso un tempo la potenza dissipata nella resistenza diventa . Determinare la resistenza interna del generatore ed il valore di .

(Dati del problema , , , , )


→ Vai alla soluzione

Telefonino semiscarico

Ad una batteria ricaricabile semiscarica (rappresentabile come un generatore di f.e.m. con resistenza interna ), a cui estremi è connesso il circuito di un telefonino acceso ( rappresentabile come una resistenza ), viene collegato, in parallelo, un alimentatore opportuno tale che garantisca sia una corrente di ricarica di della batteria che una tensione ai capi del carico () pari a . Inoltre, se viene staccato il carico (telefonino spento), l'alimentatore fornisce una corrente di ricarica di . Calcolare le caratteristiche dell'alimentatore: f.e.m. () e resistenza interna .

(Dati del problema , , , , , )


→ Vai alla soluzione

Carica condensatore con 2 R

All'istante viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Calcolare la variazione massima della potenza fornita dal generatore. Determinare inoltre il tempo necessario a dimezzare (dall'istante iniziale) la corrente che scorre nel ramo del condensatore.

(Dati del problema , , )


→ Vai alla soluzione

Scarica condensatore con 2 R

Il circuito mostrato in figura è a regime con l'interruttore aperto. All'istante viene chiuso l'interruttore ed il sistema raggiunge una nuova situazione di regime. Determinare la carica ai capi del condensatore nelle due condizioni di regime. Determinare quando la corrente fornita dal generatore eguaglia quella fornita dal condensatore.

(Dati del problema , , , , come aiuto al calcolo sono indicati i versi delle correnti dopo la chiusura dell'interruttore)


→ Vai alla soluzione

Due generatori reali su una R variabile

Nel circuito mostrato in figura la resistenza è variabile. Al suo variare la corrente fornita dal generatore passa da concorde al verso del generatore stesso a discorde. Determinare il valore di per cui avviene tale cambiamento di comportamento ed in particolare per determinare la potenza fornita dal generatore .

(dati del problema , , , , . )


→ Vai alla soluzione

Due condensatori con una resistenza

Nel circuito indicato in figura il condensatore di sinistra ha una capacità ed è portato ad una d.d.p di (mediante un generatore non mostrato in figura in quanto inessenziale). Infine viene collegato attraverso la resistenza alla armatura di un altro condensatore inizialmente scarico. Dimostrare che l'energia elettrostatica persa coincide con quella dissipata nella resistenza.


→ Vai alla soluzione

ES1

Un filo conduttore di rame di lunghezza , (ad esempio a causa della corrosione) è ben descritto da un tronco di cono che inizia con una sezione di raggio e finisce con un raggio in maniera lineare. Se il filo è percorso da una corrente . Determinare: a) Il campo elettrico massimo e minimo nel filo. b)la resistenza del filo. c) La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale .

(dati del problema , , , , , )


→ Vai alla soluzione

Resistenze serie parallelo

Un differenza di potenziale applicata ad una resistenza produce una potenza dissipata in calore pari al doppio di di quella generata se applicata ad una seconda resistenza . Calcolare la potenza dissipata se la stessa viene applicata, invece che alle singole resistenze, ai capi del sistema delle resistenze e messe a) in serie o b) in parallelo.


→ Vai alla soluzione

Generatori serie parallelo

Un generatore di f.e.m. ( e resistenza interna ) e posto in serie ad un altro generatore con , (non noti) ed entrambi alimentano una resistenza (costituiscono una maglia). Se i morsetti sono collegati in una polarità la corrente che scorre è , collegando i morsetti di in direzione opposta la corrente che scorre cambia verso e diviene .

Determinare A) la differenza di potenziale ai capi di nel caso A, b) il valore di e , c) la differenza di potenziale ai capi di nel caso e .

Dati del problema , , , , (preso a riferimento positivo il verso della corrente nella condizione ).


→ Vai alla soluzione

Scarica di un condensatore con due generatori

Dopo che l'interruttore è rimasto aperto per lungo tempo a viene chiuso. Determinare 1) la carica iniziale del condensatore; 2) la carica finale del condensatore dopo il transiente iniziale; 3) l'istante nel quale la corrente che scorre nel ramo del condensatore vale .

(dati del problema , , , , )


→ Vai alla soluzione

Una nuvola di pioggia

Una nuvola di pioggia è approssimabile come una sfera di diametro con una tipica differenza di potenziale di tra un punto generico nella nuvola e il punto in cui si scarica un fulmine. Per effetto del fulmine la densità degli ioni presenti diminuisce di . Immaginando che la corrente del fulmine sia stazionaria (costante nel tempo) durante la sua durata , determinare a) la carica trasferita, b) la corrente c) l'energia e la potenza dissipata durante il fulmine.

(dati del problema , , , )


→ Vai alla soluzione


Soluzioni

Filo a tronco di cono

→ Vai alla traccia

1)

La densità di corrente è massima sulla sezione minore:

minima in quella maggiore:

Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:

2)

Il raggio del filo segue la legge:

La resistenza vale:

Facendo il cambiamento di variabile:

segue che:

3)

Imponendo che:

Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:

}}


Un filo di materiale conduttore

→ Vai alla traccia

Ovviamente:

Dopo avere convertito le grandezze nell' MKSA.

Dalla legge di Joule in forma microscopica:

Mentre da:

segue che:


Un faro abbagliante

→ Vai alla traccia

Essendo un oggetto ohmico:

Essendo la resistività una funzione lineare della temperatura:

Potrò anche scrivere, trascurando la dilatazione termica del filo:

Quindi facendo il rapporto tra queste due equazioni:


Un condensatore carico

→ Vai alla traccia

a)

Sulle armature del I condensatore vi è una carica iniziale:

Con una energia iniziale pari a:

Alla fine del processo tale carica si deve conservare, quindi le cariche finali valgono:

Inoltre le differenze di potenziale ai capi dei due condensatori debbono equivalersi:

Cioè:

Per cui:

Quindi l'energia dissipata vale:


b)

L'equazione della maglia:

Con in ogni istante:

Quindi:

Quindi la costante di tempo vale:

e separando le variabili:

'E facile vedere come per e assume i valori dati nel punto a).


Tre resistenze

→ Vai alla traccia

Da come è fatto il circuito l'elemento critico è la resistenza , in quanto in esso scorre tutta la corrente.

Nelle resistenze ed scorre la stessa corrente:

Quindi:

Quindi la massima corrente dipende dalla massima potenza dissipabile:

quindi:


Carica di un condensatore

→ Vai alla traccia

Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:

ed un resistenza di Thevenin di:

Quindi la costante di tempo di carica vale:

Quindi dopo la tensione ai capi del condensatore vale:


Due generatori di f.e.m.

→ Vai alla traccia

Se definiamo rispettivamente , ed le correnti nei tre rami, tutte in senso orario.

Dalle legge di Kirchhoff applicate al nodo:

Dalle legge di Kirchhoff applicate alle due maglie:

Eliminando e nel sistema:

da cui:

quindi:


Tre generatori su una resistenza R

→ Vai alla traccia

Applicando il teorema di Thevenin ai generatori 1 e 2, diventano equivalenti ad unico gene\-ratore di resistenza interna e f.e.m.:

Quindi scrivendo l'equazioni di Kirkhhoff per le maglie (detta la corrente nella maglia del generatore equivalente e la corrente nel ramo del generatore e la corrente nel ramo di ):

Da cui eliminando :

Quindi:


RC con r interna

→ Vai alla traccia

Nel transitorio iniziale la capacità si comporta come un corto circuito per cui la corrente circolante vale:

Quindi essendo:

Mentre la corrente che scorre nel circuito vale nel generico istante di tempo :

con , . Quindi se:


Telefonino semiscarico

→ Vai alla traccia

Dai dati del problema nel primo caso il generatore fornisce una corrente pari a:

Posso scrivere che:

Inoltre nel secondo caso:

Quindi con semplici passaggi:



Carica condensatore con 2 R

→ Vai alla traccia

Nell'istante iniziale il condensatore si comporta come un corto circuito per cui la corrente che fornisce il generatore è massima:

Quindi:

Mentre, passato un tempo sufficiente lungo, la corrente diventa:

Mentre per quant riguarda la seconda domanda, utilizzando il teorema di Thevenin, ai capi del condensatore:

Detta

Imponendo che:


Scarica condensatore con 2 R

→ Vai alla traccia

La carica iniziale vale:

Mentre una volta andato a regime il sistema con l'interruttore chiuso, la tensione ai capi di vale ovviamente:

E quindi la carica finale ai capi di vale:

Se definisco la corrente in , quella in ed la corrente nel ramo del condensatore tale che la carica istantanea nel condensatore:

L'equazione dei nodi e della maglie sono:

Da cui eliminando ed :

con da cui, definendo :

Separando le variabili ed integrando:

Da cui:

Imponendo che:


Due generatori reali su una R variabile

→ Vai alla traccia

Detta la corrente nel ramo di , la corrente concorde al generatore ed la corrente in .

Le equazioni delle due maglie sono:

La inversione di corrente avviene quando: cioè dall'ultima quando:

di conseguenza dalla prima:

Nel caso generale invece eliminando dal sistema di tre equazioni prima :

da cui:

Eliminando :

da cui:


Due condensatori con una resistenza

→ Vai alla traccia

La carica iniziale del primo condensatore vale:

Mentre sul secondo:

Nello stato finale la carica si conserva (la positiva sull'armatura superiore la negativa sulle inferiori) in maniera che:

Ma anche la d.d.p. ai capi dei due condensatori deve essere eguale:

Dall'insieme di queste due equazioni risulta che:

Ora mentre l'energia elettrostatica iniziale vale:

quella finale vale:

Quindi la energia elettrostatica è diminuita di:

Determiniamo ora l'energia dissipata per effetto Joule durante il transitorio, definita la corrente in senso orario, e la carica istantanea sulla armatura di sopra del I condensatore, quella sulla armatura superiore del II condensatore:

Ma per la conservazione della carica:

Chiaramente la corrente (al limite per deve coincidere con un corto circuito cioè il caso visto nella scarica)

Sostituendo:

Separando le variabili:

Integrando, tra il tempo 0 ed il tempo t, viene:

La sua derivata:

L'energia dissipata per effetto Joule vale:


ES1

→ Vai alla traccia

a)

La densità di corrente è massima sulla sezione minore:

minima in quella maggiore:

Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:

b)

Il raggio del filo segue la legge:

La resistenza vale:

Facendo il cambiamento di variabile:

segue che:

c)

Imponendo che: Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:


Resistenze serie parallelo

→ Vai alla traccia

Dai dati del problema:

Quindi:

Se vengono disposte in serie:

Mentre se sono disposte in parallelo:

Quindi:


Generatori serie parallelo

→ Vai alla traccia

a) Essendo il caso indipendentemente dal valore della f.e.m. dei due generatori implica che sono disposti con i morsetti , quindi:

b)

Nel primo caso l'equazione della maglia è:

Nel secondo caso:

Facendo quindi il rapporto tra queste due equazioni:

Detto :

Da cui:

Con semplici passaggi dalla prima equazione:

c) Nel primo caso:

Nel secondo caso:


Scarica di un condensatore con due generatori

→ Vai alla traccia

Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:

La tensione ai capi del condensatore vale:

Quindi la carica iniziale vale:

Mentre quella finale è:

Da cui la variazione di carica sul condensatore vale:

La costante di tempo di scarica è pari a:

Quindi essendo:

Imponendo che:

Si ha che:


Una nuvola di pioggia

→ Vai alla traccia


Riscrivendo nel SI:

Quindi la variazione di densit\'a di carica vale:

Quindi la carica trasferita durante una scarica vale:

La corrente vale:

Quindi l'energia dissipata vale:

La potenza invece vale:

}}