Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

Jump to navigation Jump to search
Aggiunta energia del campo elettrostatico
(vi era una confusione sui segni tra lavoro ed energia potenziale corretto)
(Aggiunta energia del campo elettrostatico)
poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:
 
{{Equazione|eq=<math>U=\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon_o}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n
\frac {q_iq_j}{r_{ij}}\qquad i\ne j\ </math>|id=1}}
 
Ildove valoreil termine 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie considerate due volte, una volta scambiati ''i'' e ''j''. NelSeparando casole didue distribuzione[[w:Serie|sommatorie]] continuasi di cariche la formula generale permette di calcolare l'energia associata conriconosce il campo elettrico. Ma viene qui trattato prima un caso particolare.:
 
<math>U = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot \sum_{j = 1}^{n} \frac {q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}} = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i</math>
 
Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha:
 
<math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
 
con <math>\rho(x,y,z)\,\!</math> densità di carica e <math>\operatorname{d}\tau=\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z</math> volume infinitesimo.
 
Nell'esempio seguente non viene usata la formula precedente, ma viene fatto un ragionamento fisico.
 
=== Caso di una sfera uniformemente carica===
Quindi quando la sfera ha un raggio <math>r\ </math> con <math>0\le r \le R</math> il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo <math>dr\ </math> vale:
 
{{Equazione|eq=<math>dU=V_r\rho d\tau\ </math>|id=2}}
 
Dove <math>V_r\ </math> è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale <math>r\ </math>:
 
<math>V_r=\frac {\rho \frac 43 \pi r^3}{4\pi \epsilon_ovarepsilon_o r}=\frac {\rho r^2}{3 \epsilon_o }\ </math>
 
Esplicitando l'eq. 2:
 
<math>dU=\frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \epsilon_ovarepsilon_o}</math>
 
Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ed R si ha:
 
{{Equazione|eq=<math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \epsilon_ovarepsilon_o}
=\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \epsilon_ovarepsilon_o}=\frac {3Q^2}{20\pi \epsilon_ovarepsilon_o R} \ </math>|id=3}}
 
===Energia associata al campo elettrostatico===
 
Consideriamo una distribuzione finita di carica, nel volume <math>T\ </math> che genera quindi nello spazio un campo elettrico a cui posso associare un potenziale elettrico. L'energia elettrostatica totale del sistema vale (formula precedente):
 
<math>U= \int_T \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
 
Applicando teorema di [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Il teorema di Gauss in forma differenziale|Gauss in forma differenziale]]
 
<math>U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o \left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V \operatorname{d}\tau\ </math>
 
Poichè:
 
<math> \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)=\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right) V+
\vec E \cdot \vec \nabla V\ </math>
 
da cui:
 
<math>\left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V=\vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-
\vec E \cdot \vec \nabla V\ </math>
 
quindi:
 
<math> U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o\left[ \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-\vec E \cdot \vec \nabla V\right]\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo:
 
<math> U= \frac 12 \varepsilon_o \int_T \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)\operatorname{d}\tau+\frac{1}{2} \varepsilon_o \int_T E^2\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Estendendo l'integrale a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va con <math>1/R^2\ </math> e del potenziale <math>V\ </math> come <math>1/R\ </math> (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poichè l'integrale superficiate di una sfera va come <math>R^2\ </math> si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine:
 
<math> U= \frac{1}{2} \varepsilon_o \int_{Spazio} E^2\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Quindi <math> \frac{1}{2} \varepsilon_o E^2\ </math> è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico.
 
 
==Conservatività del campo elettrostatico==
A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a

Menu di navigazione