L'ultimo teorema di Fermat/Pitagora

Introduzione

« ${\mathfrak {T}}$utto è numero. »
(Pitagora)

La storia del teorema di Fermat e più in generale della teoria dei numeri si perde nei meandri della storia umana. Infatti fin dall'antichità gli uomini studiarono i numeri e le loro proprietà.
All'inizio lo studio era dettato da necessità pratiche (misure geometriche, astronomiche, economiche ecc.), in seguito alcuni uomini iniziarono ad interessarsi alle proprietà dei numeri e cercarono di comprendere non solo come risolvere i problemi ma anche perché certe formule o metodi dessero sempre il risultato corretto. Questo desiderio di astrazione, di esplorare la natura più intima dei numeri e delle loro proprietà, vide uno dei suoi massimi esponenti in Pitagora.

Pitagora

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Pitagora (575 a.C. - 490 a.C.) - matematico, filosofo, scienziato.

Pitagora passò gli anni della sua giovinezza a navigare in lungo e in largo il Mediterraneo alla ricerca di conoscenza. Durante i suoi viaggi apprese praticamente tutte le nozioni in campo matematico possedute dagli egizi e dai babilonesi ma, mentre questi popoli erano interessati principalmente alle applicazioni pratiche, Pitagora voleva comprendere il perché della matematica e più in generale delle cose. Dopo alcune vicissitudini riuscì a fondare una scuola di filosofia che, a differenza dei moderni centri di istruzione, assomigliava più a una setta ove i numeri erano venerati come entità divine. Chi entrava nella scuola doveva spogliarsi di tutti i suoi beni terreni che finivano nella cassa comune e vigeva l'obbligo di segretezza assoluta rispetto ai non iniziati; difatti sulla scuola sorsero molti miti e leggende.

Il teorema di Pitagora

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Pitagora è universalmente famoso per il suo teorema.

Fissati a e b i cateti di un triangolo rettangolo e c la sua ipotenusa si ha:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!$

In realtà questa equazione era conosciuta da molti altri matematici dell'epoca, ma Pitagora ne divenne il padre perché fu il primo a fornire una dimostrazione generica dell'equazione. Produsse tramite una combinazione di logica e di geometria elementare una dimostrazione per ogni triangolo rettangolo, quindi passò da una dimostrazione empirica per un numero finito di casi a una dimostrazione come la intendiamo modernamente, cioè una dimostrazione che per fissate precondizioni è sempre vera.

Le dimostrazioni sono ciò che differenzia la matematica da ogni altra scienza. Nelle scienze come la fisica, la chimica ecc., le teorie sono basate su considerazioni teoriche e su prove sperimentali ma non sono considerate mai definitive, possono essere sempre superate dall'evoluzione della conoscenza. Invece in matematica una volta che un teorema è stato dimostrato la sua veridicità non può più essere messa in discussione.

Il teorema di Pitagora era vero duemila anni fa e sarà vero anche tra duemila anni e oltre. Il legame fra il teorema di Pitagora e l'ultimo teorema di Fermat è evidente: basta sostituire l'esponente 2 con un generico esponente n per ottenere il teorema di Fermat. Infatti il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema di Fermat; questi inoltre stava studiando le proprietà delle terne pitagoriche (le soluzioni intere del teorema di Pitagora) quando enunciò il suo teorema.