Algebra lineare e geometria analitica/Matrici

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Matrice di un Sistema lineare

Dato il sistema lineare ${\mathcal {L}}$

${\begin{cases}&a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&a_{2,1}x_{1}+\dots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\&\qquad \vdots \\&a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}$

definiamo la matrice del sistema lineare la tabella

$M({\mathcal {L}})={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}&b_{n}\end{pmatrix}}$

Alla base della definizione vi sono due idee: la prima, che abbiamo già accennato nella precedente sezione, è che per risolvere il sistema lineare ${\mathcal {L}}$ non servono le incognite ma sono sufficienti i coefficienti e i termini noti. La seconda è che conviene dare a questi numeri reali la forma di una tabella rettangolare, suggerita dalla forma del sistema lineare.

Questa rappresentazione è la chiave di volta nella teoria dei sistemi lineari. Analizzeremo ora la generalizzazione di questo concetto.

Matrici

Definizione

Dati $m,n\in \mathbb {N}$, $m,n\geq 1$, una matrice $m\times n$ a coefficienti in $\mathbb {R}$ è una tabella $A$ del seguente tipo:

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}$

con $a_{i,j}\in \mathbb {R}$ per $1\leq i\leq m$ e $1\leq j\leq n$.

Righe e Colonne

Data una matrice $m\times n$ $A$ possiamo definire:

• righe di $A$: sono le seguenti matrici $1\times n$

${\begin{matrix}&A_{1}:=(a_{1,1}\ a_{1,2}\ \dots \ a_{1,n})\\&A_{2}:=(a_{2,1}\ a_{2,2}\ \dots \ a_{2,n})\\&\vdots \\&A_{m}:=(a_{m,1}\ a_{m,2}\ \dots \ a_{m,n})\end{matrix}}$

• colonne di $A$: sono le seguenti matrici $m\times 1$

$A^{1}:={\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots \\a_{m,1}\end{pmatrix}}\quad A^{2}:={\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots \\a_{m,2}\end{pmatrix}}\quad \dots \quad A^{n}:={\begin{pmatrix}a_{1,n}\\a_{2,n}\\\vdots \\a_{m,n}\end{pmatrix}}$

Rappresentazione e componenti

Possiamo rappresentare la matrice $A$ mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere

$A=:{\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&\dots &A^{n}\end{pmatrix}}=:{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{m}\end{pmatrix}}$

Per indicare $A$ useremo anche la notazione

$A=:(a_{i,j})_{\stackrel {1\leq i\leq m}{1\leq j\leq n}}=:(a_{i,j})$

Infine per indicare la componente $i,j$-esima di $A$ useremo la notazione $(A)_{i,j}=:a_{i,j}$. Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.

Esempio

Sia

$A=:{\begin{pmatrix}2&-3\\1&0\\4&{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$

Allora $A$ è una matrice $3\times 2$ e le sue righe e colonne sono

$A_{1}={\begin{pmatrix}2&-3\end{pmatrix}}\qquad A_{2}={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}\qquad A_{3}={\begin{pmatrix}4&{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$

$A^{1}={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}\qquad A^{2}={\begin{pmatrix}-3\\0\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$

Le componenti di $A$ sono:

$(A)_{1,1}=2\quad (A)_{1,2}=-3\quad (A)_{2,1}=1\quad (A)_{2,2}=0\quad (A)_{3,1}=4\quad (A)_{3,2}={\sqrt {3}}$

Quindi $A$ può essere scritta come:

$A={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A^{1}&A_{2}\end{pmatrix}}$

Insiemi di Matrici

Definizione

Dati $m,n\in \mathbb {N}$ con $m,n\geq 1$ indicheremo con $M(m,n,\mathbb {R} )$ l'insieme di tutte le matrici $m\times n$ a coefficienti in $\mathbb {R}$, e con $M(n,\mathbb {R} )$ tutte le matrici $n\times n$ a coefficienti in $\mathbb {R}$, ovvero:

$M(m,n,\mathbb {R} ):=\{A:A{\text{ e una matrice }}m\times n{\text{ a coefficienti in }}\mathbb {R} \}$

$M(n,\mathbb {R} ):=M(n,n,\mathbb {R} )$

Chiameremo le matrici di $M(n,\mathbb {R} )$ matrici quadrate.

Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se ${\mathcal {L}}$ è un sistema lineare con $m$ equazioni e $n$ incognite, allora $M({\mathcal {L}})\in M(m,n+1,\mathbb {R} )$.

Praticamente si consideri il seguenti sistema:

${\mathcal {L}}={\begin{cases}x_{1}+x_{2}=5\\3x_{2}=7\end{cases}}$

allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che

$M({\mathcal {L}})={\begin{pmatrix}1&1&5\\0&3&7\end{pmatrix}}\in M(2,3,\mathbb {R} )$