Meccanica razionale/Cinematica/Sistemi rigidi

Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazione

Chiameremo con $S_{1}$ e $S_{2}$ due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della $S_{1}$, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della $S_{2}$.

Se $A_{1}$ e $A_{2}$ sono due punti corrispondenti , il vettore ${\bar {\mathbf {{A_{1}}{A_{2}}} }}$ dicesi lo spostamento del punto $A_{1}$. Se:

${\bar {\mathbf {{A_{1}}{A_{2}}} }}={\bar {\mathbf {{B_{1}}{B_{2}}} }}=.....={\bar {\mathbf {{N_{1}}{N_{2}}} }}={\bar {\mathbf {a} }}$

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione $S_{2}$ è dedotta da $S_{1}$ mediante una traslazione semplice di vettore ${\vec {a}}$.Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra $S_{1}$ $S_{2}$ , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di $S_{1}$ ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra $S_{1}$ e $S_{2}$, poiché

${\vec {AA'}}={\vec {BB'}}$

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di $S_{1}$ descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Si Consideri il caso limite di moto rigido puramente traslatorio su traiettoria circolare (fig.1), presi due punti qualsiasi A e B sul corpo rigido, notiamo come la retta che li unisce si mantenga sempre parallela a se stessa. Contrariamente in (fig.2) si vede il corpo essere dotato di moto rotatorio attorno al suo asse e tutti i punti (Elementi) che lo compongono si muovono su circonferenze concentriche.

Moto rotatorio

Supponiamo ora che le due figure componenti $S_{1}$ e $S_{2}$ abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ore un punto $P_{1}$ di $S_{1}$ non appartenente all'asse, e sia $P_{2}$ il suo corrispondente in $S_{2}$. Mandiamo dal punto $P_{1}$ la normale O$P_{1}$ all'asse, e conduciamo anche la O$P_{2}$, la O$P_{2}$ risulterà, essendo $P_{2}$ corrispondente di $P_{1}$, normale all'asse ed $OS_{2}=OS_{1}$.

Allora facendo descrivere a $P_{1}$ l'arco di cerchio $P_{1}P_{2}$, la figura $S_{1}$ si sovrapporrà ad $S_{2}$, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano $\alpha _{1}$ formato da $P_{1}$ e l'asse, per andare a coincidere con il piano $\alpha _{2}$ formato da $P_{2}$ e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolare

Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se $\theta$ è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

${\dot {\theta }}={d \over dt}\theta (t)=\omega$

Nel caso che

${d^{2} \over dt^{2}}\theta (t)={\ddot {\theta }}=0$

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettoriale

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore ${\vec {\Omega }}$ che ha per modulo $\omega$, direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

Velocità di un punto P in un moto rotatorio.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

${\vec {v_{p}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$

Moto elicoidale

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità ${\vec {\Omega }}$ intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza ${\vec {a}}$ , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con ${\vec {v_{p}}}$ e ${\vec {v_{0}}}$ le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento ${\boldsymbol {\xi }}$, ${\boldsymbol {\eta }},$, ${\boldsymbol {\zeta }}$, e se ${\hat {\mathbf {i} }}$, ${\hat {\mathbf {j} }}$, ${\hat {\mathbf {k} }}$ sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

${\vec {OP}}=x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }}$

Per cui la velocità di P, ${\vec {v_{p}}}$, è uguale a ${d \over dt}{\vec {O_{1}P}}$, mentre quella di O, ${\vec {v_{0}}}$, è data da ${d \over dt}{\vec {O_{1}O}}$. Posto ciò abbiamo che:

${d \over dt}{\vec {OP}}={d \over dt}{\vec {O_{1}P}}-{d \over dt}{\vec {O_{1}O}}={\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{0}}}$

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}+x{d \over dt}{\hat {\mathbf {i} }}+y{d \over dt}{\hat {\mathbf {j} }}+z{d \over dt}{\hat {\mathbf {k} }}$

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che ${\dot {x}}={\dot {y}}={\dot {z}}=0$. La (8) si riduce allora a:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+x{d \over dt}{\hat {\mathbf {i} }}+y{d \over dt}{\hat {\mathbf {j} }}+z{d \over dt}{\hat {\mathbf {k} }}$

Vogliamo ora dimostrare che:

$\left\{{\begin{matrix}{d \over dt}{\hat {\mathbf {i} }}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}\\{d \over dt}{\hat {\mathbf {j} }}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}\\{d \over dt}{\hat {\mathbf {k} }}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {k} }}\end{matrix}}\right.$

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale	prodotto scalare
${\hat {\mathbf {i} }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}={\hat {\mathbf {k} }}\wedge {\hat {\mathbf {k} }}=0$	${\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}=1$
${\hat {\mathbf {i} }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}=-{\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {k} }}$	${\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}=0$
${\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {k} }}=-{\hat {\mathbf {k} }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}={\hat {\mathbf {i} }}$	${\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}=0$

Inoltre possiamo scrivere:

${d \over dt}({\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {i} }})={\hat {\mathbf {i} }}\times {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }}=2({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }})=0$

${d \over dt}({\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {j} }})={d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {i} }}\times {d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}=0$

${d \over dt}({\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {k} }})={d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }}+{\hat {\mathbf {j} }}\times {d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}=0$

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }}=0$
${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }}=-{\hat {\mathbf {i} }}\times {d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}$
${d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }}=-{\hat {\mathbf {j} }}\times {d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}$

Il vettore ${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}$ potrà essere espresso in generale come:

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}=a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}$

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per ${\hat {\mathbf {i} }}$, ${\hat {\mathbf {j} }}$, ${\hat {\mathbf {k} }}$ otteniamo:

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }}=a{\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}=a=0$

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }}=a{\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}=b$

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }}=a{\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}=c$

Si ottiene

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}=({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }})\cdot {\hat {\mathbf {j} }}+({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }})\cdot {\hat {\mathbf {k} }}$

$=({d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }})\cdot {\hat {\mathbf {i} }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}+({d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }})\cdot {\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}+({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {j})\cdot {\hat {\mathbf {k} }}\wedge {i}$.

E se definiamo:

${\vec {\Omega }}=({d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }})\cdot {\hat {\mathbf {i} }}+({d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }})\cdot {\hat {\mathbf {j} }}+({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }})\cdot {\hat {\mathbf {k} }}$

otteniamo le (10):

${d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}$ ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigido

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed ${\vec {\Omega }}$ il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

${d \over dt}{\vec {v_{p}}}={d \over dt}{\vec {v_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {d \over dt}{\vec {(OP)}}+{d \over dt}{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

Cioè:

${\vec {a_{p}}}={\vec {a_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}+{d \over dt}{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

In quanto per le (13) si ha:

${d \over dt}{\vec {(OP)}}={\vec {v_{p}}}-{\vec {V_{0}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}$

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

${\vec {\Omega }}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}})=({\vec {\Omega }}\times {\vec {(OP)}})\cdot {\vec {\Omega }}-({\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }})\cdot {\vec {(OP)}}$

Le espresioni cartesiane delle componenti di ${\vec {a_{p}}}$ rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

${\ddot {x}}={\dot {u_{0}}}+(px+qy+rz)p-(p^{2}+q^{2}+r^{2})x+({\dot {q}}z-{\dot {z}}y)$

${\ddot {y}}={\dot {v_{0}}}+(px+qy+rz)q-(p^{2}+q^{2}+r^{2})y+({\dot {z}}x-{\dot {p}}z)$

${\ddot {z}}={\dot {w_{o}}}+(px+qy+rz)r-(p^{2}+q^{2}+r^{2})z+({\dot {p}}y-{\dot {q}}x)$

Essendo $\ p,\ q,\ r$ le componenti di ${\vec {\Omega }}$ rispetto agli assi mobili $\ x,\ y,\ z$ e $\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o}$ le componenti di ${\vec {v_{o}}}$ in definitiva avremo

${\ddot {x}}={\dot {u_{o}}}-(q^{2}+r^{2})x+(qy-rz)p+({\dot {q}}z-{\dot {z}}y)$

${\ddot {y}}={\dot {v_{o}}}-(p^{2}+r^{2})y+(px-rz)q+({\dot {r}}x-{\dot {p}}z)$

${\ddot {z}}={\dot {w_{o}}}-(p^{2}+q^{2})z+(px+qy)r+({\dot {p}}y-{\dot {q}}x)$

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi

...

Velocità

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili $x_{m}$ $y_{m}$ $z_{m}$ sono date proiettando la formula fondamentale:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{o}}}\wedge ({\vec {OP)}}$

sugli assi $\ x,\ y,\ z$.

Chiamando con $\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o}$ le componenti della velocità assoluta di $\ O$ (traslazione) in tre assi $\ x,\ y,\ z$ (mobili), e con $\ p,\ q,\ r$ le componenti del vettore velocità angolare ${\vec {\Omega }}$ in tre assi mobili otteniamo:

${\dot {x}}=u=u_{o}+(qz-zy)$
${\dot {y}}=v=v_{o}+(rx-pz)$
${\dot {z}}=w=w_{o}+(py-qz)$

I valori $\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o},\ p,\ q,\ r,$ si chiamano i sei parametri del moto rigido.