Propulsione aerea/Capitolo IV°

Questo modulo è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarlo secondo le convenzioni di Wikibooks

Rendimento termodinamico

Un gas ha effettuato un ciclo quando percorrendo una qualsiasi successione di stati fisici ritorna nelle condizioni iniziali.
Poichè le condizioni finali sono uguali alle iniziali non vi è variazione dell'energia interna; tutto il calore fornito è sparito durante il ciclo e si è trasformato in lavoro (meccanico o energia cinetica).
In accordo col secondo principio della termodinamica non tutto il calore può trasformarsi in lavoro.
Si definisce rendimento termodinamico η_t il rapporto tra il calore trasformato in lavoro ed il calore fornito; esso è quindi la percentuale utilizzata del calore speso.
Se Q₁ è il calore speso e Q₀ quello ceduto si ha in generale per qualsiasi ciclo:

$\ (23)\qquad \eta _{t}={\frac {Q_{1}-Q_{0}}{Q_{1}}}=1-{\frac {Q_{0}}{Q_{1}}}$

Quindi η_t è in ogni caso <1.
Necessita che η_t sia il piàù alto possibiule compatibilmente con altre esigenze; questo aspetto verrà meglio chiarito quando si parlerà delle applicazioni.
Se i gas vengono considerati con C_p e C_v costanti ed inoltre senza dissociazione il valore η_t per macchina senza perdite è detto ideale. Tra tutti i clcli pensabili hanno pparticolare importanza teorica e pratica quelli composti di trasformazioni alternativamente dello stesso tipo (fig,12); in altre parole le trasformazioni 0-1 e3-2 sono della stessa natura; cosdì pure le trasformazioni 1-2 e 0-3.

Figura 12

Poichè in generale una trasformazione può rappresentarsi come politropica di dato esponente possiamo scrivere:

$\ p_{0}v_{0}^{k}=p_{1}v_{1}^{k}$

$\ p_{2}v_{2}^{k}=p_{3}v_{3}^{k}$

per le due con esponente k;

$\ p_{0}v_{0}^{\gamma }=p_{3}v_{3}^{\gamma }$

$\ p_{2}v_{2}^{\gamma }=p_{1}v_{1}^{\gamma }$

per le altre due con esponente γ.
Le condizioni precedenti sono soddisfatte soltanto se

$\ p_{0}p_{2}=p_{1}p_{3}\qquad v_{0}v_{2}=v_{1}v_{3}$.

Da queste segue

$\ T_{0}T_{2}=T_{1}T_{3}\qquad \rho _{0}\rho _{2}=\rho _{1}\rho _{3}$

cioè, per cicli del tipo definito, vale la proprietà generale che i prodotti in croce dei parametri fisici estremi sono uguali.

Cicli Carnot, Otto, Brayton

Tra i cicli del tipo precedente rientrano il Carnot e due interessanti alcune categorie di macchine termiche, quello Otto, a volume costante, e quello Brayton a pressione costante; su questi due ultimi sono basate quasi tutte le macchine ed i dispositivi per la prpulsione aerea.
I tre cicli sono schizzati rispettivamente nelle fig. 13_{a, 13b e 13c} sia sul piano p, vche sul piano T, S.
Il ciclo Carnot consta di due isoentropiche e due isotermiche: 0-1 isoentropica di compressione; 1-2 isoterma a temperatura T₁ con introduzione del calore Q₁; 2-3 isoentropica di espansione; 3-0 isoterma a temperatura T₀ con cessione del calore Q₀.

fig.13_a

Ricordando la (18) si ha

$\ Q_{1}=R\ T_{1}\ \ln {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\qquad Q_{0}=R\ T_{0}\ \ln {\frac {p_{0}}{p_{3}}}$

Il rendimento ideale diviene

$\ (24)\qquad \eta _{t}=1-{\frac {Q_{0}}{Q_{1}}}=1-{\frac {T_{0}}{T_{1}}}$

poichè p₀ p₂ = p₁ p₃.
Il rendimento è funzione solamente del rapporto tra T₁ e T₀  ; il ciclo Carnot è quello del massimo rendimento tra le due temperature estreme prefissate T₁ e T₀.
Per esempio per gli acciai legati inossidabili si può contare su temperature del materiale di 800°C. Supposto T₀=273°K si avrebbe

$\ \eta _{t}=1-{\frac {273}{273+800}}=0,75$

valore veramente notevole.
Purtroppo in pratica mentre è relativamente facile ed agevole realizzare trasformazioni più o meno isoentropiche è pressoche impossibile realizzare le isoterme pei motivi detti a suo tempo; i numerosi tentativi sono sempre falliti.
E' necessario accontentarsi di rendimenti più bassi relativi ad altri cicli possibili e di effettiva realizzazione pratica.
Il ciclo ideale di Otto, Fig.13_b, consta di due isoentropiche e due isometriche: 0-1 isoentropica di compressione; 1-2 isometrica con introduzione del calore Q₁ (fase di scoppio); 2-3 isoentropica di espansione; 3-0 isometrica con cessione di calore Q₀ (scarico).

Figura 13_b

Il ciclo ideale Brayton, Fig.13_c, è invece costituito da due isoentrtopiche e due isobare: 0-1 isoentropica di compressione ; 1-2isobara con introduzione del calore Q₁ (fase di combustione); 2-3 isoentropica di espansione; 3-0 isobara con cessione del calore Q₀ (scarico).

Figura 13_c

Si ha:

$\ Q_{1}=C_{v}(T_{2}-T_{1})\qquad Q_{0}=C_{v}(T_{3}-T_{0})$

per il ciclo Otto, e

$\ Q_{1}=C_{p}(T_{2}-T_{1})\qquad Q_{0}=C_{p}(T_{3}-T_{0})$

per il tipo Brayton.
In entrambi i casi

$\ \eta _{1}=1-{\frac {Q_{0}}{Q_{1}}}=1-{\frac {T_{3}-T_{0}}{T_{2}-T_{1}}}=1-{\frac {T_{0}}{T_{1}}}{\frac {{\frac {T_{3}}{T_{0}}}-1}{{\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1}}$

ma per la proprietà dimostrata $\ {\frac {T_{3}}{T_{0}}}={\frac {T_{2}}{T_{1}}}$, quindi

$\ \eta _{t}=1-{\frac {T_{0}}{T_{1}}}$.

Ilrendimento ideale dei due cicli dipende dal rapporto tra la temperatura finale ed iniziale della compressione.
Poichè

$\ {\frac {T_{1}}{T_{0}}}=({\frac {v_{0}}{v_{1}}})^{k-1}=({\frac {p_{1}}{p_{0}}})^{\frac {k-1}{k}}$

si ha anche

$\ (25)\qquad \eta _{t}=1-{\frac {1}{\frac {T_{1}}{T_{0}}}}=1-{\frac {1}{({\frac {v_{0}}{v_{1}}})^{k_{1}-1}}}=1-{\frac {1}{({\frac {p_{1}}{p_{0}}})^{\frac {k-1}{k}}}}$.

Il rendimento ideale dipende quindi dal rapporto volumetrico di compressione

$\ {\frac {v_{0}}{v_{1}}}$

o dal rapporto di compressione

$\ {\frac {p_{1}}{p_{0}}}$

e dalla natura del fluido in gioco rappresentata dal valore k; sul grafico di fig.14 è riportato η_t in funzione di $\ {\frac {p_{1}}{p_{0}}}$ per k=1,4.

.fig.14

Il rendimento ideale dei tre semplici cicli esaminati è lo stesso a parità di $\ {\frac {T_{1}}{T_{0}}}$ o, il che è lo stesso, a parità di rapporto di compressione.
Vi è però una differenza sostanziale tra il Carnot e gli altri due: infatti il Carnot T₀ e T₁ sono le temperature estreme (T₀=T₃ : T₁=T₂) mentre pergli altri due risulta T₀ < T₃ e T₂ > T₁; il ciclo Carnot è il solo ciclo di massimo rendimento tra due temperature prefissate e ci e facile vedere sul piano T-S (fig.15).

fig.15

Le aree racchiuse dai cicli sulpiano p-v rappresentano il lavoro ideale L; le aree sul piano T-S, rappresentano il calore utilizzato Q₁-Q₀; evidentemente J(Q₁-Q₀=L per due rappresentazioni corrispondenti.

Rendimento termodinamico limite e reale

I rendimenti ideali avanti definiti si riferiscono a gas ideali, con calori specifici costanti al variare della temperatura e senza dissociazione; in verità i calori specifici e la dissociazione variano con la temperatura (in generale crescono con essa). Se nel calcolo del rendimento dei cicli si tiene conto di questo effetto (usualmente non rilevante) si trovano altri rendimenti detti limiti perchè sarebbero effettivamente raggiungibili con gas reali ma con macchine iderali senza perdite.
Il rapporto tra lavoro effettivamente sviluppato e calorie introdotte in una data macchina è il rendimento tertmodinamico reale di quella data macchina; questo rendimento per le macchine a combustione interna si ottiene concretamente misurando il lavoro sviluppato dal motore ed il combustibile consumato di noto potere calorifico.