Matematica per le superiori/L'iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

$F_{1}(-c;0)\,$

$F_{2}(c;0)\,$

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

$\left|PF_{1}-PF_{2}\right|=2a$

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo $2a$.

Sviluppando avremo:

$\left|{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\right|=2a$

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}+4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$x^{2}+c^{2}-2cx-4a^{2}-x^{2}-c^{2}-2cx=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$-4cx-4a^{2}=4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$c^{2}x^{2}+a^{4}+2a^{2}cx=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+2a^{2}cx+a^{2}y^{2}\,$

$x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}c^{2}-a^{4}\,$

${\frac {x^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}-{\frac {a^{2}y^{2}}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}={\frac {a^{2}(c^{2}-a^{2})}{a^{2}(c^{2}-a^{2})}}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1$

Per comodità possiamo porre:

$b^{2}=c^{2}-a^{2}\,$

e avremo quindi:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

Centro e punti notevoli

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

${\frac {(-x)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(-y)^{2}}{b^{2}}}=1$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\&y=0\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$

$x^{2}=a^{2}$

$x=\pm a$

I vertici saranno pertanto: $V(a;0)$ e $V(-a;0)$

Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta $y=x$. L'equazione diventerà quindi:

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

${\frac {(x-x_{c})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-y_{c})^{2}}{b^{2}}}=1$

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