Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali: differenze tra le versioni
m Aggiungo template di navigazione |
|||
Riga 4: | Riga 4: | ||
==Radicali quadratici== |
==Radicali quadratici== |
||
====Razionalizzazione==== |
|||
In matematica, la razionalizzazione del denominatore di una frazione è un procedimento algebrico che consente di eliminare dal denominatore le espressioni irrazionali, ossia quelle contenenti radicali algebrici. Ciò viene ottenuto tramite la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per un opportuno fattore. La razionalizzazione è utile, fra l'altro, per semplificare il calcolo numerico di tali espressioni, dal momento che la divisione per un numero irrazionale comporta un calcolo laborioso e potenzialmente più soggetto ad errori di approssimazione. |
|||
⚫ | |||
===Moltiplicazione con radicali quadratici=== |
|||
== Casi frequenti == |
|||
=== Denominatore con un radicale quadratico === |
|||
Si consideri una frazione della forma: |
|||
:<math>\frac{b}{\sqrt{a}}</math> |
|||
In questo caso, certamente il più semplice, si riesce a razionalizzare il denominatore moltiplicando semplicemente numeratore e denominatore per <math>\sqrt{a}</math>: |
|||
:<math>\frac{b}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}</math> |
|||
=== Denominatore con un radicale qualsiasi === |
|||
Nel caso più generale della forma: |
|||
:<math>\frac{b}{\sqrt[n]{a^m}}</math> |
|||
con ''n'' > ''m'', il fattore razionalizzante è <math>\sqrt[n]{a^{n-m}}</math>. Infatti: |
|||
:<math>\frac{b}{\sqrt[n]{a^m}}\cdot\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \frac{b\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n}}} = \frac{b\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}</math> |
|||
⚫ | |||
Le frazioni della forma: |
|||
:<math>\frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}</math> |
|||
ricordando il [[prodotto notevole]] <math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math>, si razionalizzano come segue: |
|||
:<math>\frac{c\cdot(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})} = \frac{c\cdot(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{a - b}</math> |
|||
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come <math>a \pm \sqrt{b}</math> o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio: |
|||
:<math>\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6}}{12}</math> |
|||
=== Somma o differenza di due radicali cubici === |
|||
Le frazioni della forma: |
|||
:<math>\frac{c}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}</math> |
|||
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli: |
|||
:<math>(a \pm b) (a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3</math> |
|||
Infatti: |
|||
:<math>\frac{c}{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}} = \frac{c(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{(\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})} = \frac{c(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{a \pm b}</math> |
|||
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma <math>a \pm \sqrt[3]{b}</math> o simili. |
|||
== Operazioni fondamentali == |
|||
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito: |
|||
* <math>\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}</math> |
|||
* <math>(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}</math> purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste |
|||
* <math>a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}</math> |
|||
* <math>a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}</math> |
|||
* <math>\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} </math> ''(Radicali quadratici doppi)'' |
|||
dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che <math> a^2>b </math>. |
|||
Per ogni [[numero complesso]] <math>a</math> diverso da 0, ci sono <math>n</math> diversi numeri complessi <math>b</math> tali che <math>b^n=a</math>, quindi il simbolo <math>\sqrt[n]{a}</math> non può essere usato univocamente. Se <math>a=1</math>, parliamo di [[radice dell'unità|radici n-esime dell'unità]]. |
|||
== Casi particolari == |
|||
La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato. |
|||
==Potenze a esponente razionale== |
==Potenze a esponente razionale== |
Versione delle 16:03, 12 apr 2013
Numeri non razionali
Radicali quadratici
Razionalizzazione
In matematica, la razionalizzazione del denominatore di una frazione è un procedimento algebrico che consente di eliminare dal denominatore le espressioni irrazionali, ossia quelle contenenti radicali algebrici. Ciò viene ottenuto tramite la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per un opportuno fattore. La razionalizzazione è utile, fra l'altro, per semplificare il calcolo numerico di tali espressioni, dal momento che la divisione per un numero irrazionale comporta un calcolo laborioso e potenzialmente più soggetto ad errori di approssimazione.
Casi frequenti
Denominatore con un radicale quadratico
Si consideri una frazione della forma:
In questo caso, certamente il più semplice, si riesce a razionalizzare il denominatore moltiplicando semplicemente numeratore e denominatore per :
Denominatore con un radicale qualsiasi
Nel caso più generale della forma:
con n > m, il fattore razionalizzante è . Infatti:
Somma o differenza di due radicali quadratici
Le frazioni della forma:
ricordando il prodotto notevole , si razionalizzano come segue:
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:
Somma o differenza di due radicali cubici
Le frazioni della forma:
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:
Infatti:
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma o simili.
Operazioni fondamentali
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
- purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
- (Radicali quadratici doppi)
dove e sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che .
Per ogni numero complesso diverso da 0, ci sono diversi numeri complessi tali che , quindi il simbolo non può essere usato univocamente. Se , parliamo di radici n-esime dell'unità.
Casi particolari
La radice -esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad , è uguale a 0; nel caso in cui però sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
Potenze a esponente razionale
Razionalizzazione del denominatore o del numeratore