Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali: differenze tra le versioni
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== Casi particolari == |
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La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato. |
La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato. |
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== Razionalizzazione == |
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Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se <math>a</math> e <math>b</math> sono due numeri positivi distinti: |
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:<math>\begin{align}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) &= \sqrt{a}\sqrt{a} - \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{a} - \sqrt{b}\sqrt{b}\\ |
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& = a - b |
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\end{align}</math> |
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:<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}</math> |
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L'ultima relazione può servire per [[Razionalizzazione (matematica)|razionalizzare]] il [[denominatore]] di un'[[espressione (matematica)|espressione]] o di un'[[equazione]]. |
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==Potenze a esponente razionale== |
==Potenze a esponente razionale== |
Versione delle 16:04, 12 apr 2013
Numeri non razionali
Radicali quadratici
Razionalizzazione
In matematica, la razionalizzazione del denominatore di una frazione è un procedimento algebrico che consente di eliminare dal denominatore le espressioni irrazionali, ossia quelle contenenti radicali algebrici. Ciò viene ottenuto tramite la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per un opportuno fattore. La razionalizzazione è utile, fra l'altro, per semplificare il calcolo numerico di tali espressioni, dal momento che la divisione per un numero irrazionale comporta un calcolo laborioso e potenzialmente più soggetto ad errori di approssimazione.
Casi frequenti
Denominatore con un radicale quadratico
Si consideri una frazione della forma:
In questo caso, certamente il più semplice, si riesce a razionalizzare il denominatore moltiplicando semplicemente numeratore e denominatore per :
Denominatore con un radicale qualsiasi
Nel caso più generale della forma:
con n > m, il fattore razionalizzante è . Infatti:
Somma o differenza di due radicali quadratici
Le frazioni della forma:
ricordando il prodotto notevole , si razionalizzano come segue:
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:
Somma o differenza di due radicali cubici
Le frazioni della forma:
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:
Infatti:
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma o simili.
Operazioni fondamentali
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
- purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
- (Radicali quadratici doppi)
dove e sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che .
Per ogni numero complesso diverso da 0, ci sono diversi numeri complessi tali che , quindi il simbolo non può essere usato univocamente. Se , parliamo di radici n-esime dell'unità.
Casi particolari
La radice -esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad , è uguale a 0; nel caso in cui però sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
Razionalizzazione
Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se e sono due numeri positivi distinti:
L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.
Potenze a esponente razionale
Razionalizzazione del denominatore o del numeratore