Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali

Radicali quadratici

Razionalizzazione

In matematica, la razionalizzazione del denominatore di una frazione è un procedimento algebrico che consente di eliminare dal denominatore le espressioni irrazionali, ossia quelle contenenti radicali algebrici. Ciò viene ottenuto tramite la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per un opportuno fattore. La razionalizzazione è utile, fra l'altro, per semplificare il calcolo numerico di tali espressioni, dal momento che la divisione per un numero irrazionale comporta un calcolo laborioso e potenzialmente più soggetto ad errori di approssimazione.

Casi frequenti

Denominatore con un radicale quadratico

Si consideri una frazione della forma:

${\frac {b}{\sqrt {a}}}$

In questo caso, certamente il più semplice, si riesce a razionalizzare il denominatore moltiplicando semplicemente numeratore e denominatore per ${\sqrt {a}}$:

${\frac {b}{\sqrt {a}}}\cdot {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a}}}={\frac {b{\sqrt {a}}}{a}}$

Denominatore con un radicale qualsiasi

Nel caso più generale della forma:

${\frac {b}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$

con n > m, il fattore razionalizzante è ${\sqrt[{n}]{a^{n-m}}}$. Infatti:

${\frac {b}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\cdot {\frac {\sqrt[{n}]{a^{n-m}}}{\sqrt[{n}]{a^{n-m}}}}={\frac {b{\sqrt[{n}]{a^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{a^{n}}}}={\frac {b{\sqrt[{n}]{a^{n-m}}}}{a}}$

Somma o differenza di due radicali quadratici

Le frazioni della forma:

${\frac {c}{{\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}}}$

ricordando il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, si razionalizzano come segue:

${\frac {c\cdot ({\sqrt {a}}\mp {\sqrt {b}})}{({\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}})({\sqrt {a}}\mp {\sqrt {b}})}}={\frac {c\cdot ({\sqrt {a}}\mp {\sqrt {b}})}{a-b}}$

Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come $a\pm {\sqrt {b}}$ o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:

${\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}-({\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {6}}}}={\frac {({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}){\sqrt {6}}}{12}}$

Somma o differenza di due radicali cubici

Le frazioni della forma:

${\frac {c}{{\sqrt[{3}]{a}}\pm {\sqrt[{3}]{b}}}}$

si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:

$(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}$

Infatti:

${\frac {c}{{\sqrt[{3}]{a}}\pm {\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {c({\sqrt[{3}]{a^{2}}}\mp {\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{a}}\pm {\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}\mp {\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {c({\sqrt[{3}]{a^{2}}}\mp {\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}{a\pm b}}$

Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma $a\pm {\sqrt[{3}]{b}}$ o simili.

Operazioni fondamentali

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• $({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
• $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
• $a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
• ${\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$ (Radicali quadratici doppi)

dove $a$ e $b$ sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che $a^{2}>b$.

Per ogni numero complesso $a$ diverso da 0, ci sono $n$ diversi numeri complessi $b$ tali che $b^{n}=a$, quindi il simbolo ${\sqrt[{n}]{a}}$ non può essere usato univocamente. Se $a=1$, parliamo di radici n-esime dell'unità.

Casi particolari

La radice $n$-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad $n$, è uguale a 0; nel caso in cui però $n$ sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

Razionalizzazione del denominatore o del numeratore

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