In matematica, la razionalizzazione del denominatore di una frazione è un procedimento algebrico che consente di eliminare dal denominatore le espressioni irrazionali, ossia quelle contenenti radicali algebrici. Ciò viene ottenuto tramite la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per un opportuno fattore. La razionalizzazione è utile, fra l'altro, per semplificare il calcolo numerico di tali espressioni, dal momento che la divisione per un numero irrazionale comporta un calcolo laborioso e potenzialmente più soggetto ad errori di approssimazione.
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:
Somma o differenza di due radicali cubici
Le frazioni della forma:
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:
Infatti:
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma o simili.
Operazioni fondamentali
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
(Radicali quadratici doppi)
dove e sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che .
Per ogni numero complesso diverso da 0, ci sono diversi numeri complessi tali che , quindi il simbolo non può essere usato univocamente. Se , parliamo di radici n-esime dell'unità.
Casi particolari
La radice -esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad , è uguale a 0; nel caso in cui però sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
Potenze a esponente razionale
Razionalizzazione del denominatore o del numeratore