Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali: differenze tra le versioni
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Per ogni [[numero complesso]] <math>a</math> diverso da 0, ci sono <math>n</math> diversi numeri complessi <math>b</math> tali che <math>b^n=a</math>, quindi il simbolo <math>\sqrt[n]{a}</math> non può essere usato univocamente. Se <math>a=1</math>, parliamo di [[radice dell'unità|radici n-esime dell'unità]]. |
Per ogni [[numero complesso]] <math>a</math> diverso da 0, ci sono <math>n</math> diversi numeri complessi <math>b</math> tali che <math>b^n=a</math>, quindi il simbolo <math>\sqrt[n]{a}</math> non può essere usato univocamente. Se <math>a=1</math>, parliamo di [[radice dell'unità|radici n-esime dell'unità]]. |
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La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato. |
La radice <math>n</math>-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad <math>n</math>, è uguale a 0; nel caso in cui però <math>n</math> sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato. |
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Versione delle 16:07, 12 apr 2013
Numeri non razionali
Radicali quadratici
Casi frequenti
Denominatore con un radicale quadratico
Si consideri una frazione della forma:
In questo caso, certamente il più semplice, si riesce a razionalizzare il denominatore moltiplicando semplicemente numeratore e denominatore per :
Denominatore con un radicale qualsiasi
Nel caso più generale della forma:
con n > m, il fattore razionalizzante è . Infatti:
Somma o differenza di due radicali quadratici
Le frazioni della forma:
ricordando il prodotto notevole , si razionalizzano come segue:
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:
Somma o differenza di due radicali cubici
Le frazioni della forma:
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:
Infatti:
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma o simili.
Operazioni fondamentali
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
- purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
- (Radicali quadratici doppi)
dove e sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che .
Per ogni numero complesso diverso da 0, ci sono diversi numeri complessi tali che , quindi il simbolo non può essere usato univocamente. Se , parliamo di radici n-esime dell'unità.
Casi particolari
La radice -esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad , è uguale a 0; nel caso in cui però sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.
Potenze a esponente razionale
Razionalizzazione del denominatore o del numeratore