Matematica per le superiori/Sistemi di numerazione

Operazioni in base due

Addizione

L'addizione è un'operazione aritmetica che a due numeri detti addendi associa un terzo numero detto somma. Questa operazione è inizialmente definita sui numeri naturali: in quel contesto, la sua definizione può essere data in termini insiemistici. Dati due numeri naturali a e b, consideriamo due insiemi A e B che abbiano, rispettivamente, a e b come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora la somma a + b è il numero di elementi dell'insieme unione A ∪ B. Per fare un esempio concreto, se in un sacchetto abbiamo 3 mele e in un altro sacchetto abbiamo 2 mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo 3 + 2 = 5 mele. Un bambino che impara a sommare usando le dita delle mani o un abaco non fa altro che applicare questa definizione. In realtà, per definire rigorosamente l'addizione in questo modo occorrerebbe anche dimostrare che il risultato dell'operazione non dipende dai particolari insiemi che si stanno considerando (che siano mele, dita, sassolini, ecc.). Esiste un modo diverso di introdurre astrattamente l'addizione fra numeri interi attraverso i postulati dell'aritmetica, ad esempio nella formulazione di Giuseppe Peano. Dall'insieme dei numeri naturali l'addizione può essere estesa agli altri insiemi numerici che lo contengono (numeri interi relativi, numeri razionali, numeri reali, numeri complessi). Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione.

Notazione

Se i termini sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un numero e l'altro. La sequenza di addendi è chiusa dal simbolo "=". Sono addizioni valide:

$3+2=5$

$998+1+1=1000$

$1+1+2+3+5+8+13+21=54$

e si leggono, indifferentemente,

• "tre più due è uguale a cinque",
• "tre più due uguale cinque",
• o anche sottintendendo il segno di uguale, soprattutto nelle addizioni brevi, nella forma "tre più due cinque".

Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".

Il simbolo dell'addizione

Il precedente simbolo dell'addizione. Una P in corsivo.

Se i termini non sono scritti individualmente ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050. In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare data una sequenza di numeri denotati con $x_{1},\,...,x_{m},\,...x_{n},\,...$, la somma degli n-m+1 compresi fra quello di posizione m e quello di posizione n può essere espressa con la scrittura

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.$

Proprietà elementari

Per l'addizione sono valide le seguenti proprietà:

• la proprietà commutativa, la quale afferma che cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia:

$a+b=b+a$

Ad esempio: $2+3=5=3+2=5$

o anche

$a+b+c=b+a+c=b+c+a=c+a+b=c+b+a$

La proprietà commutativa: aggiungere tre mele ad un gruppo di due equivale ad aggiungerne due ad un gruppo di tre

• la proprietà associativa, la quale afferma che sostituendo due addendi con la loro somma il risultato non cambia:

$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$

Ad esempio: $3+5+2=10(3+5)+2=3+(5+2)$

$8+2$		$3+7$
$10$	$=$	$10$

• La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

$k(a+b)=ka+kb$

Ad esempio: $3*(4+5)=(3*4)+(3*5)=12+15=27$

Divisione

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