Fisica per le superiori/Applicazioni del teorema di Gauss

Campo elettrico di una carica puntiforme

Il teorema è equivalente alla legge di Coulomb. Qui vogliamo dimostrare che la legge di Coulomb può essere derivata dall’enunciato di Gauss.

Sia data una carica $Q_{0}$, concentrata in un singolo punto dello spazio.
Consideriamo una superficie immaginaria concentrica, di raggio $r$ centrata attorno alla carica data.
In ciascun punto della superficie, per ragioni di simmetria, avrà una direzione radiale (cioè ortogonale alla superficie stessa) e un modulo costante.
Il flusso attraverso la superficie stessa potrà essere calcolato in due modi diversi:

${\begin{cases}\Phi =ES_{sfera}=4\pi Er^{2}\\\Phi ={\frac {Q_{0}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

Dal sistema si ricava:

$E={\frac {Q_{0}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$

Che restituisce proprio il teorema di Gauss.

Campo elettrico di una distribuzione lineare uniforme di carica

Procuriamoci un filo di lana molto lungo, e strofiniamolo fino ad elettrizzarlo in un modo uniforme.
Avremo realizzato un modello di una cosiddetta distribuzione lineare di carica. Cerchiamo ora di dedurre, applicando il teorema di Gauss, il campo elettrico generato intorno al nostro filo.

Per farlo, valutiamo il campo elettrico intorno ad un cilindro di lunghezza $h$ e raggio $r$, centrato intorno al filo di lana. A differenza del caso precedente, la simmetria del sistema è assiale, anziché radiale, quindi il campo sarà, ad un tempo, perpendicolare alla superficie laterale del cilindro e parallelo a quella di base. Il flusso attraverso la superficie di base, pertanto, sarà nullo:

${\begin{cases}\Phi =\Phi _{base}+\Phi _{laterale}=ES_{laterale}=2\pi rhE\\\Phi ={\frac {Q_{cil}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

Dove $Q_{cil}$ rappresenta la carica totale contenuta all’interno del cilindro considerato. Dal sistema, risulta: $E={\frac {Q_{cil}}{2\pi \epsilon _{0}hr}}={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}r}}$

essendo $\lambda ={\frac {Q_{cil}}{h}}$ la densità lineare di carica.
Il campo elettrico generato da una simmetria assiale, di conseguenza, diminuisce in ragione inversa alla distanza. Quindi in modo più lento rispetto alla carica puntiforme, che segue una legge inversa al quadrato della distanza.

Campo elettrico di una distribuzione superficiale uniforme di carica

Anziché un filo di lana, proviamo ora ad elettrizzare in modo uniforme un foglio di carta molto esteso (per esempio, formato A3 :) ).

Per applicare il teorema di Gauss, avremo bisogno, questa volta, di una superficie a forma di parallepido retto, sezionata in due parti uguali dal piano del foglio.
Per simmetria, tutto il flusso risulterà uscente in modo ortogonale dalla due superfici di base del parallelepipedo, e sarà nullo attraverso la superficie laterale. Inoltre, il campo elettrico sulle due superfici di base, prese alla stessa distanza dal foglio di carta, devono avere la stessa intensità.

${\begin{cases}\Phi =\Phi _{basi}+\Phi _{laterale}=2ES\\\Phi ={\frac {Q_{int}}{\epsilon _{0}}}\end{cases}}$

E dal sistema:

$E={\frac {Q_{int}}{S\epsilon _{0}}}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

Dove $\sigma$ rappresenta la densità superficiale di carica.
È d’obbligo, in questo caso, soffermarsi ad osservare che il campo elettrico formato da una superficie piana è indipendente dalla distanza. Una superficie piana sufficientemente dunque, permette di dare origine a campi elettrostatici costanti nello spazio.