Matematica per le superiori/Sistemi di numerazione: differenze tra le versioni

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Matematica per le superiori/Sistemi di numerazione (modifica)

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{{Matematica per le superiori}}
▲{{da aiutare}}
 
==Scrittura in base dieci==
{{...}}
 
==Scrittura in altre basi==
Per sistema numerico decimale nel linguaggio comune e matematico occidentale si intende il sistema di numerazione posizionale a base 10 che, per rappresentare i numeri, utilizza dieci cifre da 0 a 9. In senso matematico stretto un sistema decimale è un sistema con una base costituita da dieci elementi, che non necessariamente deve essere posizionale, ad esempio il sistema romano o l'attuale sistema cinese.
===Notazione ===
 
Se i termini sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "'''[[+]]'''", che si interpone tra un numero e l'altro. La sequenza di addendi è chiusa dal simbolo "'''[[=]]'''". Sono addizioni valide:
 
:<math>3+2=5</math>
 
[[File:Addition old.svg|thumb|100px|Il precedente simbolo dell'addizione. Una P in corsivo.]]
Se i termini non sono scritti individualmente ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'[[ellissi]] ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei [[numerow:Numero naturale|numeri naturali]] da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di '''[[sommatoria]]''', rappresentato dalla lettera greca [[w:Sigma (lettera)|Sigma]] maiuscola. In particolare data una sequenza di numeri denotati con <math>x_1,\, ..., x_m,\, ...x_n,\, ...</math>, la somma degli ''n-m+1'' compresi fra quello di posizione ''m'' e quello di posizione ''n'' può essere espressa con la scrittura
: <math> \sum_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} + x_{m+1} + x_{m+2} + \dots + x_{n-1} + x_{n}. </math>
 
Per l'addizione sono valide le seguenti proprietà:
 
* la ''[[proprietà commutativa]]'', la quale afferma che cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia:
 
:<math>a + b = b + a </math>
[[File:Commutative Addition.svg|thumb|150|La proprietà commutativa: aggiungere tre mele ad un gruppo di due equivale ad aggiungerne due ad un gruppo di tre]]
 
* la ''[[proprietà associativa]]'', la quale afferma che sostituendo due addendi con la loro somma il risultato non cambia:
 
:<math>a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)</math>
|}
 
*La '''[[proprietà distributiva]] della moltiplicazione rispetto all'addizione''':
 
:<math>k(a + b) = ka + kb</math>
 
[[File:Line Segment jaredwf.png|right|]]
Prendiamo un [[segmento]] di [[lunghezza]] ''b'' disegnato per terra con l'estremo di sinistra chiamato ''a'' e quello destro ''c''.
 
Partendo dalla posizione ''a'', saranno necessari ''b'' passaggi per raggiungere la posizione ''c''. Questo movimento verso destra, chiamato '''[[addizione]]''', può essere scritto come:
:''a'' + ''b'' = ''c''
 
:''c'' − ''b'' = ''a''
 
Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri [[w:1 (numero)|1]], [[w:2 (numero)|2]] e [[w:3 (numero)|3]].▼
[[File:Subtraction line segment jaredwf.png|right|]]
▲Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri [[1 (numero)|1]], [[2 (numero)|2]] e [[3 (numero)|3]].
 
Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi
Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.
 
Per la sottrazione dei [[numero naturale|numeri naturali]], la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, ...) su di essa.
 
Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi
Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.
 
Usando la linea dei [[numerow:Numero intero|numeri interi]] (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi
:3 − 4 = −1
 
proprietà distributiva:
per dividere una somma indicata (o una differenza indicata) per un numero, purché tutti i termini della somma o della differenza siano divisibili per essa, basta dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero ed addizionare (o sottrarre) tutti i quoti parziali ottenuti.
 
[[Categoria:Matematica per le superiori|Sistemi di numerazione]]
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