Probabilità/Introduzione

La teoria della Probabilità formula una conoscenza incompleta riguardante la probabilità di un evento. Ad esempio, un meteorologo potrebbe dire che c'è un 60% di possibilità che domani piova. Questo significa che in 6 casi su 10 , quando la terra si trova nelle stesse condizioni, pioverà .

Una probabilità è un numero reale $p\in [0,1]$. Nel linguaggio comune, il numero è generalmente espresso in percentuale (da 0% a 100%) anziché in numero decimale (cioè, una probabilità di 0,25 si esprime come 25%). Una probabilità del 100% significa che un evento è certo. Nel linguaggio quotidiano, con una probabilità dello 0% si intende che l'evento è impossibile, ma (di solito ci sono un' infinità di possibili risultati) un evento, a cui viene attribuito originariamente una probabilità dello 0%, può essere quello che effettivamente avviene. In alcune situazioni, è certo che all'evento che accade è stato all'inizio attribuito una probabilità pari a zero (ad esempio, nel selezionare un numero tra 0 e 1, la probabilità di selezionare un qualsiasi numero è zero, ma è certo che un tale numero verrà selezionato).

Un altro modo per riferire la probabilità di un risultato è dalle sue possibilità : il rapporto tra la probabilità di "successo" (l'evento si verifica) e la probabilità di "fallimento" (l'evento non si verifica). Nel mondo delle scommesse (dove viene sviluppata la "probabilità") le possibilità sono espresse come il rapporto tra la somma puntata da ciascun partecipante nella scommessa. Per esempio: un bookmaker offre la probabilità di 3/1 "su" un cavallo, pagherà allo scommettitore tre volte la sua puntata (se il cavallo vince). Infatti, il bookmaker (evitando fattori come la sua possibile necessità di "pagare" scommesse che lo portino alla possibilità di una perdita complessivamente inaccettabile) dichiara di pensare che il cavallo ha un 1/4 di possibilità di vittoria. Se utilizziamo la definizione matematica di probabilità, "possibilità di vincere" : "possibilità di non vincere" = 1/4: 3/4 = 1: 3 o 1/3. Così un evento con una probabilità del 25% ha il 33% di possibilità. Questa disparità è ancora più evidente quando un evento ha una probabilità del 50% (per esempio, le probabilità di una moneta che mostra testa è del 50%: 50% = 1: 1 o 1).

Tipi di probabilità

Teoria classica della probabilità

Il metodo classico al calcolo della probabilità è quello di contare il numero di risultati favorevoli, il numero di risultati possibili (si presuppone che i risultati siano contemporaneamente esclusivi ed equiparabili), ed esprimere la probabilità come un rapporto di questi due numeri. Con il termine favorevole si intende non un qualsiasi termine soggettivo assegnato alla variabile risultato, ma piuttosto è una terminologia convenzionale per definire un dato risultato che appartiene ad un dato evento di interesse. Cosa effettivamente si intenda con questo sarà chiarito da un esempio e formalizzato dalla introduzione alla teoria della probabilità assiomatica.

Definizione classica di probabilità

Se il numero di risultati favorevoli appartiene ad un evento $E$ is $N_{E}$, e il numero totale di risultati possibili è $N$, la probabilità dell' evento $E$ sara definita per $p_{E}={\frac {N_{E}}{N}}$.

Per esempio, un mazzo standard di carte (senza jolly) ha 52 carte. Se noi peschiamo in maniera casuale dal mazzo, possiamo pensare che ogni carta ha lo stessa probabilità di uscire della altre. Quindi ci sono 52 possibili risultati. Possiamo ora ipotizzare vari eventi e calcolarne la probabilità:

• Delle 52 carte, ci sono 13 carte del seme fiore. Quindi, se l' evento di interesse è pescare una carta del seme di fiori, ci sono 13 risultati favorevoli e la probabilità che questo evento accada è ${\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}$.
• Ci sono quattro re, uno per ogni seme. La probabilità di pescare un re è ${\frac {4}{52}}={\frac {1}{13}}$.
• Qual' è la probabilità di pescare un re O una carta di seme fiori? Questo esempio è leggermente più complicato in quanto non si può semplicemente sommare il numero di risultati favorevoli di ogni singolo evento ($4+13=17$) in quanto andremmo a contare due volte lo stesso risultato (il re di fiori). Il metodo giusto per risolvere questo problema è ${\frac {16}{52}}$ ovvero ${\frac {13}{52}}+{\frac {4}{52}}-{\frac {1}{52}}$ che si può scrivere come $p({\textrm {fiori}})+p({\textrm {re}})-p({\textrm {re\ di\ fiori}})$.

La probabilità classica ha però dei notevoli limiti. La definizione di probabilità presuppone che tutti i risultati possibili siano equiprobabili. Se questo può essere utile in situazioni quali pescare carte, tirare dadi, o estrarre palline da un urna, in eventi nei quali i risultati non sono equiprobabili, la probabilità classica non offre alcun metodo risolutivo.

Queste limitazioni possono portare a dichiarazioni erronee riguardo la probabilità. Un esempio comune: posso essere colpito da una meteorite domani. Apparentemente ci sono due possibili situazioni:domani verrò colpito da un meteorite oppure domani non verrò colpito da un meteorite. Quindi la probabilità che domani io venga colpito da un asteroide è ${\frac {1}{2}}=50\%$. Chiaramente la soluzione errata non è da attribuirsi alla teoria classica della probabilità ma al suo utilizzo in situazioni che non possono essere studiate grazie a queste teorie.

Queste limitazioni, comunque, non rendono la probabilità classica inutile. Nello sviluppo di un approccio assiomatico alla probabilità, la teoria classica è un importante fattore guida.

Probabilità empirica o statistica o frequenza di eventi

Questo approccio alla probabilità è adatto ad una vasta gamma di materie scientifiche. Essa si basa sull'idea che la probabilità di un evento possa essere misurata grazie ad una serie di tentativi ripetuti.

Probabilità Empirica come misura di una frequenza

Poniamo$n_{A}$ come il numero di volte che l' evento $A$ si è verificato dopo $n$ tentativi. Definiamo la probabilità dell'evento come $A$ as $p_{A}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n_{A}}{n}}$

Chiaramente, è impossibile condurre un infinito numero di tentativi. Comunque, è di solito sufficiente condurre un ampio numero di tentativi, dove per ampio si intende un numero variabile a seconda della probabilità che stiamo misurando e dalla accuratezza che necessitiamo.

Un problema sorge spontaneo nella definizione di questo tipo di probabilità: come facciamo a sapere quando il rapporto ${\frac {n_{A}}{n}}$ ci darà sempre lo stesso risultato? La risposta è che non possiamo saperlo. Per osservare questo fenomeno, consideriamo un esperimento che consiste nel lanciare una monetina infinite volte. Siamo interessati a quante volte la moneta ci darà come risultato testa. Immaginiamo che il risultato sia l seguente sequenza:

HTHHTTHHHHTTTTHHHHHHHHTTTTTTTTHHHHHHHHHHHHHHHHTTTTTTTTTTTTTTTT...

dove per ogni $k$ risultati testa e $k$ risultati croce segue un numero doppio di risultati. Seguendo questo esempio il rapporto ${\frac {n_{A}}{n}}$ oscilla tra circa ${\frac {1}{3}}$ e ${\frac {2}{3}}$ senza convergere nel rapporto ${\frac {1}{2}}$.

Potremmo aspettarci che tali sequenze di risultati siano improbabili, e avremmo ragione. Come mostrato dopo la probabilità di una striscia di risultati come questa è pari a 0, come una serie di risultati che converge verso la probabilità statistica dell'evento. Il limite di questo tipo di probabilità sta proprio nel definire chiaramente come determinare la convergenza di un tale evento verso la probabilità statistica, compito che spetta alla teoria della probabilità assiomatica.

Teoria assiomatica della probabilità

La teoria assiomatica della probabilità, sebbene spaventi spesso i principianti, è l'approccio più generale alla probabilità, ed è stata utilizzata per risolvere alcuni dei più difficili problemi della probabilità. Partiamo da una serie di assiomi, che servono per definire un intervallo di probabilità. Sebbene questi assiomi potrebbero non essere immediatamente intuitivi, possiamo garantire che la chiave di lettura per comprendere a pieno questi assiomi rimane in buona parte la teoria della probabilità classica.

Poniamo S come l'insieme dei risultati di un esperimento casuale. La probabilità P è una funzione con dei valori il quale dominio è l'insieme potenza S il quale intervallo [0,1] soddisfa i seguenti assiomi:

(i) Per ogni evento E, P (E) ≥ 0

(ii) P (S) = 1

(iii) Se E ed F sono reciprocamente esclusivi, allora P(E ∪ F) = P(E) + P(F).

seguito da (iii) per P(φ) = 0. Per provare questo, prendiamo F = φ e osserviamo che E e φ sono eventi disgiunti. Quindi, dall'assioma (iii), abbiamo P (E ∪ φ) = P (E) + P (φ) or P(E) = P(E) + P (φ) i.e. P (φ) = 0. Poniamo S come lo spazio campione che contiene i risultati ω1 , ω2 ,...,ωn , i.e., S = {ω1, ω2, ..., ωn}

Risulta dalla definizione assiomatica di probabilità che:

(i) 0 ≤ P (ωi) ≤ 1 per ogni ωi ∈ S

(ii) P (ω1) + P (ω2) + ... + P (ωn) = 1

(iii) Per ogni evento A, P(A) = Σ P(ωi ), ωi ∈ A.