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Va notato che l'intorno richiesto per la definizione del limite può anche non contenere il punto ''x''<sub>0</sub>. Il limite descrive a quale valore una funzione si ''avvicina'' indefinitamente, quando la sua variabile si avvicina ad un certo valore, che potrebbe anche essere addirittura al di fuori del dominio della funzione. Quale sia il valore (se esiste) della funzione nel punto ''x''<sub>0</sub> è irrilevante ai fini del limite. |
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Va notato che l'intorno richiesto per la definizione del limite può anche non contenere il punto ''x''<sub>0</sub>. Il limite descrive a quale valore una funzione si ''avvicina'' indefinitamente, quando la sua variabile si avvicina ad un certo valore, che potrebbe anche essere addirittura al di fuori del dominio della funzione. Quale sia il valore (se esiste) della funzione nel punto ''x''<sub>0</sub> è irrilevante ai fini del limite. |
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Una definizione alternativa usa i limiti di successione<ref>Marcellini M, Sbordone C, ''Calcolo'', Liguori editore, Napoli</ref> |
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Una definizione alternativa usa i limiti di successione<ref>Marcellini P, Sbordone C, ''Calcolo'', Liguori editore, Napoli</ref> |
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===Limite destro e limite sinistro di funzioni=== |
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===Limite destro e limite sinistro di funzioni=== |
Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
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Calcolo differenziale in e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
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- I numeri complessi
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- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
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- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
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Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
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- Limiti, continuità, asintoti
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
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- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
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Definizione
In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
Il limite di una successione è definito come segue:
Si dice che una successione an ha limite uguale a a (o tende ad a) se e solo se, qualunque sia la scelta delle quantità positive δ ed ν, si ha che
per ogni
Per le funzioni, ove i valori non sono discreti ed il cui punto di interesse può essere qualunque,
si definisce il concetto di intorno di un punto x , ovvero l'insieme dei punti che si trovano entro una certa distanza dal punto x, chiamato il centro dell'intorno.
Il limite di una funzione è quindi definito come:
Si dice che una funzione ha limite uguale a A per x che tende ad a se e solo se, qualunque sia la scelta delle quantità positive δ ed ε, esiste un intorno I0 del punto a (al più privo di x0) e di larghezza δ tale che
per ogni
Va notato che l'intorno richiesto per la definizione del limite può anche non contenere il punto x0. Il limite descrive a quale valore una funzione si avvicina indefinitamente, quando la sua variabile si avvicina ad un certo valore, che potrebbe anche essere addirittura al di fuori del dominio della funzione. Quale sia il valore (se esiste) della funzione nel punto x0 è irrilevante ai fini del limite.
Una definizione alternativa usa i limiti di successione[1]
Limite destro e limite sinistro di funzioni
- ↑ Marcellini P, Sbordone C, Calcolo, Liguori editore, Napoli