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== Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità ==
== Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità ==
Consideriamo l’insieme <math>A=\{\text{consonanti della parola ``AIA''}\}</math>. Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme <math>A</math> è privo di elementi.

{{Algebra1/Definizione| Un insieme privo di elementi si chiama ''insieme vuoto'' e lo si indica con il simbolo <math>\emptyset</math> o <math>\{ \}</math>. }}

{{Algebra1/Osservazione| <math>\{ \}=\emptyset</math> ma <math>\{\emptyset \}\neq\emptyset</math> dato che la scrittura <math>\{\emptyset \}</math> rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.}}

{{Algebra1/Esempio|title = Alcuni insiemi vuoti.|
# L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;
# l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;
# l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.
}}

La frase &lt;&lt;l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino&gt;&gt; non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1<sup>a</sup>C gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama ''insieme universo'' e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme <math>A</math> è semplicemente un insieme che contiene <math>A</math>. Solitamente l’insieme universo viene indicato con <math>U</math>.

=== Cardinalità ===

Versione delle 18:46, 9 mag 2016

Indice del libro


Insiemi ed elementi

In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro.

La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono considerate nozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.

Esempio: Sono insiemi:


  • l’insieme delle lettere della parola RUOTA;
  • l’insieme delle canzoni che ho ascoltato la settimana scorsa;
  • l’insieme delle città della Puglia con più di 15.000 abitanti;
  • l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano;
  • l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5;
  • l’insieme delle montagne d’Italia più alte di 1.000 metri.


Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:

  • bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elemento dell’insieme;
  • gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elemento non può essere ripetuto più volte nello stesso insieme.

Non possono essere considerati insiemi:

  • i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante oppure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessante per altre);
  • le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se una ragazza è simpatica);
  • le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poiché non è fissata un’altezza limite);
  • l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città è grande);

In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole , , , …e gli elementi con lettere minuscole , , , …

Se un elemento sta nell’insieme si scrive e si legge “ appartiene ad ”. Il simbolo “” si chiama simbolo di appartenenza.

Se un elemento non sta nell’insieme si scrive e si legge “ non appartiene ad ”. Il simbolo “” si chiama simbolo di non appartenenza.

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietà caratteristica dell’insieme.

Un altro modo per definire un insieme, oltre a quello di indicare la sua proprietà caratteristica, è quello di elencare i suoi elementi separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio: .

Per indicare alcuni insiemi specifici vengono utilizzati simboli particolari:

  • si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali: ;
  • si utilizza per indicare i numeri interi relativi: ;
  • si utilizza per indicare i numeri razionali: .

Esempio: Indica con il simbolo opportuno quali dei seguenti elementi appartengono o non appartengono all’insieme dei giorni della settimana: lunedì, martedì, gennaio, giovedì, dicembre, estate.


Gennaio e dicembre sono mesi dell’anno, perciò scriviamo:


Consideriamo l’insieme e l’insieme delle consonanti della parola “risate”. Possiamo osservare che e sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo che sono insiemi uguali.

Definizione: Due insiemi e si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso. In simboli si scrive . Altrimenti i due insiemi si dicono diversi, in simboli .


Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

Consideriamo l’insieme . Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme è privo di elementi.

Definizione: Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e lo si indica con il simbolo o .


Osservazione: ma dato che la scrittura rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.

Esempio: Alcuni insiemi vuoti.


  1. L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;
  2. l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;
  3. l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.


La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1aC gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama insieme universo e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme è semplicemente un insieme che contiene . Solitamente l’insieme universo viene indicato con .

Cardinalità