Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Insiemi: differenze tra le versioni
Nuova pagina: {{Algebra1}} == Insiemi ed elementi == In matematica usiamo la parola ''insieme'' per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, nume... |
|||
Riga 54: | Riga 54: | ||
== Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità == |
== Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità == |
||
Consideriamo l’insieme <math>A=\{\text{consonanti della parola ``AIA''}\}</math>. Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme <math>A</math> è privo di elementi. |
|||
{{Algebra1/Definizione| Un insieme privo di elementi si chiama ''insieme vuoto'' e lo si indica con il simbolo <math>\emptyset</math> o <math>\{ \}</math>. }} |
|||
{{Algebra1/Osservazione| <math>\{ \}=\emptyset</math> ma <math>\{\emptyset \}\neq\emptyset</math> dato che la scrittura <math>\{\emptyset \}</math> rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.}} |
|||
{{Algebra1/Esempio|title = Alcuni insiemi vuoti.| |
|||
# L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto; |
|||
# l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto; |
|||
# l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto. |
|||
}} |
|||
La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1<sup>a</sup>C gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama ''insieme universo'' e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme <math>A</math> è semplicemente un insieme che contiene <math>A</math>. Solitamente l’insieme universo viene indicato con <math>U</math>. |
|||
=== Cardinalità === |
Versione delle 18:46, 9 mag 2016
Insiemi ed elementi
In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro.
La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono considerate nozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.
Esempio: Sono insiemi:
- l’insieme delle lettere della parola RUOTA;
- l’insieme delle canzoni che ho ascoltato la settimana scorsa;
- l’insieme delle città della Puglia con più di 15.000 abitanti;
- l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano;
- l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5;
- l’insieme delle montagne d’Italia più alte di 1.000 metri.
Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:
- bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elemento dell’insieme;
- gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elemento non può essere ripetuto più volte nello stesso insieme.
Non possono essere considerati insiemi:
- i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante oppure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessante per altre);
- le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se una ragazza è simpatica);
- le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poiché non è fissata un’altezza limite);
- l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città è grande);
In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole , , , …e gli elementi con lettere minuscole , , , …
Se un elemento sta nell’insieme si scrive e si legge “ appartiene ad ”. Il simbolo “” si chiama simbolo di appartenenza.
Se un elemento non sta nell’insieme si scrive e si legge “ non appartiene ad ”. Il simbolo “” si chiama simbolo di non appartenenza.
Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietà caratteristica dell’insieme.
Un altro modo per definire un insieme, oltre a quello di indicare la sua proprietà caratteristica, è quello di elencare i suoi elementi separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio: .
Per indicare alcuni insiemi specifici vengono utilizzati simboli particolari:
- si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali: ;
- si utilizza per indicare i numeri interi relativi: ;
- si utilizza per indicare i numeri razionali: .
Esempio: Indica con il simbolo opportuno quali dei seguenti elementi appartengono o non appartengono all’insieme dei giorni della settimana: lunedì, martedì, gennaio, giovedì, dicembre, estate.
Gennaio e dicembre sono mesi dell’anno, perciò scriviamo:
Consideriamo l’insieme e l’insieme delle consonanti della parola “risate”. Possiamo osservare che e sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo che sono insiemi uguali.
Definizione: Due insiemi e si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso. In simboli si scrive . Altrimenti i due insiemi si dicono diversi, in simboli .
Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità
Consideriamo l’insieme . Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme è privo di elementi.
Definizione: Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e lo si indica con il simbolo o .
Osservazione: ma dato che la scrittura rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.
Esempio: Alcuni insiemi vuoti.
- L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;
- l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;
- l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.
La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1aC gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama insieme universo e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme è semplicemente un insieme che contiene . Solitamente l’insieme universo viene indicato con .