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Insiemi ed elementi

In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro.

La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono considerate nozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.

Esempio: Sono insiemi:

• l’insieme delle lettere della parola RUOTA;
• l’insieme delle canzoni che ho ascoltato la settimana scorsa;
• l’insieme delle città della Puglia con più di 15.000 abitanti;
• l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano;
• l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5;
• l’insieme delle montagne d’Italia più alte di 1.000 metri.

Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:

• bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elemento dell’insieme;
• gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elemento non può essere ripetuto più volte nello stesso insieme.

Non possono essere considerati insiemi:

• i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante oppure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessante per altre);
• le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se una ragazza è simpatica);
• le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poiché non è fissata un’altezza limite);
• l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città è grande);

In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole $A$, $B$, $C$, …e gli elementi con lettere minuscole $a$, $b$, $c$, …

Se un elemento $a$ sta nell’insieme $A$ si scrive $a\in A$ e si legge “$a$ appartiene ad $A$”. Il simbolo “$\in$” si chiama simbolo di appartenenza.

Se un elemento $b$ non sta nell’insieme $A$ si scrive $b\notin A$ e si legge “$b$ non appartiene ad $A$”. Il simbolo “$\notin$” si chiama simbolo di non appartenenza.

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietà caratteristica dell’insieme.

Un altro modo per definire un insieme, oltre a quello di indicare la sua proprietà caratteristica, è quello di elencare i suoi elementi separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio: $A=\{a{\text{, }}b{\text{, }}c{\text{, }}d\}$.

Per indicare alcuni insiemi specifici vengono utilizzati simboli particolari:

• $\mathbb {N}$ si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali: $\mathbb {N} =\{0{\text{, }}1{\text{, }}2{\text{, }}3{\text{, }}\ldots \}$;
• $\mathbb {Z}$ si utilizza per indicare i numeri interi relativi: $\mathbb {Z} =\{\ldots {\text{, }}-2{\text{, }}-1{\text{, }}0{\text{, }}+1{\text{, }}+2{\text{, }}\ldots \}$;
• $\mathbb {Q}$ si utilizza per indicare i numeri razionali: $\mathbb {Q} =\{{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}-{\tfrac {3}{5}}{\text{, }}{\tfrac {5}{1}}{\text{, }}-{\tfrac {4}{17}}{\text{, }}{12,34}{\text{, }}8{\text{, }}{0,}{\overline {25}}{\text{, }}\ldots \}$.

Esempio: Indica con il simbolo opportuno quali dei seguenti elementi appartengono o non appartengono all’insieme $A$ dei giorni della settimana: lunedì, martedì, gennaio, giovedì, dicembre, estate.

Gennaio e dicembre sono mesi dell’anno, perciò scriviamo:

${\text{lunedì}}\in A{\text{, }}{\text{martedì}}\in A{\text{, }}{\text{gennaio}}\notin A{\text{, }}{\text{giovedì}}\in A{\text{, }}{\text{dicembre}}\notin A{\text{, }}{\text{estate}}\notin A.$

Consideriamo l’insieme $A=\{{\text{r, s, t}}\}$ e l’insieme $B$ delle consonanti della parola “risate”. Possiamo osservare che $A$ e $B$ sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo che sono insiemi uguali.

Definizione: Due insiemi $A$ e $B$ si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso. In simboli si scrive $A=B$. Altrimenti i due insiemi si dicono diversi, in simboli $A\neq B$.

Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

Consideriamo l’insieme $A=\{{\text{consonanti della parola ``AIA''}}\}$. Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme $A$ è privo di elementi.

Definizione: Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e lo si indica con il simbolo $\emptyset$ o $\{\}$.

Osservazione: $\{\}=\emptyset$ ma $\{\emptyset \}\neq \emptyset$ dato che la scrittura $\{\emptyset \}$ rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.

Esempio: Alcuni insiemi vuoti.

• L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;
• l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;
• l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.

La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1^aC gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama insieme universo e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme $A$ è semplicemente un insieme che contiene $A$. Solitamente l’insieme universo viene indicato con $U$.

Cardinalità

Definizione: Si definisce cardinalità (o potenza) di un insieme finito il numero degli elementi dell’insieme. Essa viene indicata con uno dei seguenti simboli $\left|{A}\right|$, #($A$) o ${\text{card}}(A)$.

Per poter parlare di cardinalità di un insieme qualsiasi, che comprenda anche insiemi infiniti come gli insiemi numerici, occorre una definizione più complessa che qui non daremo.

Esempio: Esempi di cardinalità.

1. L’insieme $A$ delle vocali dell’alfabeto italiano ha 5 elementi, quindi ${\text{card}}(A)=5$;
2. l’insieme $B$ dei multipli di 3 minori di 10 ha 3 elementi, quindi ${\text{card}}(B)=3$.

Rappresentazione degli insiemi

Esistono diversi modi per rappresentare un insieme e quindi per indicare con precisione i suoi elementi.

Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare è la descrizione più elementare di un insieme; consiste nell’elencare tutti gli elementi dell’insieme separati da virgole e racchiusi tra le parentesi graffe.

Per esempio, definiamo un insieme $X$ con la scrittura: $X=\{{\text{1, 2, 3, 5}}\}$. Non è importante l’ordine in cui vengono scritti gli elementi, cioè

$X=\{{\text{1, 2, 3, 5}}\}=\{{\text{2, 1, 5, 3}}\}.$

È invece necessario che ogni elemento dell’insieme compaia una sola volta. Ad esempio, per rappresentare l’insieme $Y$ delle lettere della parola “autunno”, scriviamo

$Y=\{{\text{a, u, t, n, o}}\}.$

Si può utilizzare questa rappresentazione anche per insiemi numerosi e addirittura infiniti. In questi casi si elencano i primi elementi dell’insieme e in fondo all’elenco si mettono tre punti di sospensione lasciando intendere come continuare la serie.

Per esempio, l’insieme dei multipli di 3 si può indicare con la seguente rappresentazione tabulare:

$X=\{{\text{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, }}\ldots \}.$

Esempio: Rappresentazione degli insiemi:

• l’insieme $G$ dei primi 3 giorni della settimana si indica: $G=\{{\text{lunedì, martedì, mercoledì}}\}$;
• l’insieme $A$ delle lettere della parola “associazione” si indica: $A=\{{\text{a, s, o, c, i, z, n, e}}\}$.