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=== Rappresentazione grafica (Diagramma di Eulero-Venn) ===
=== Rappresentazione grafica (Diagramma di Eulero-Venn) ===

In questa rappresentazione grafica, detta anche ''rappresentazione di Eulero-Venn''<ref>in onore del matematico svizzero Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, (1707 - 1783) e del matematico e statistico inglese John Venn (1834 - 1923).
</ref> si disegna una linea chiusa all’interno della quale gli elementi dell’insieme si indicano con dei punti. Solitamente si scrive all’esterno il nome dell’insieme e vicino ad ogni punto il valore ad esso associato.

{{Algebra1/Esempio|title = <math>A</math> è l’insieme dei numeri naturali minori di 6, cioè <math>A=\{\text{0, 1, 2, 3, 4, 5}\}</math>. La sua rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente|

[[File:Algebra1 ins fig001 insi.svg|center|Diagramma di Eulero-Venn dei numeri naturali minori di 6]]
}}

{{Algebra1/Esempio|title = <math>B</math> è l’insieme delle lettere della parola “TARTARUGA”, <math>B=\{\text{t, a, r, u, g}\}</math>. La sua rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente|

[[File:Algebra1 ins fig002 insii.svg|center|Diagramma di Eulero-Venn delle lettere dellla parola "TARTARUGA"]]
}}

Un insieme può essere rappresentato con una qualsiasi delle rappresentazioni indicate. Se un insieme è infinito o è costituito da un numero elevato di elementi la rappresentazione più pratica è quella per caratteristica.

{{Algebra1/Esempio|title = Rappresentare l’insieme <math>C</math> dei multipli di 5.|

* Per caratteristica: <math>C=\{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ è multiplo di }5\}</math> oppure <math>C=\{n\in\mathbb{N}\mid n=5\cdot m</math>, <math>m\in\mathbb{N}\}</math>
* Tabulare: <math>C=\{\text{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, }\dots\}</math>. I puntini di sospensione indicano che l’elenco continua.
* Rappresentazione con diagramma di Eulero-Venn:

[[File:Algebra1 ins fig003 insiii.svg|center|Diagramma di Eulero-Venn dei multipli di 5]]
}}

== Sottoinsieme ==

Versione delle 21:43, 10 mag 2016

Indice del libro


Insiemi ed elementi

In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro.

La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono considerate nozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.

Esempio: Sono insiemi:


  • l’insieme delle lettere della parola RUOTA;
  • l’insieme delle canzoni che ho ascoltato la settimana scorsa;
  • l’insieme delle città della Puglia con più di 15.000 abitanti;
  • l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano;
  • l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5;
  • l’insieme delle montagne d’Italia più alte di 1.000 metri.


Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:

  • bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elemento dell’insieme;
  • gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elemento non può essere ripetuto più volte nello stesso insieme.

Non possono essere considerati insiemi:

  • i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante oppure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessante per altre);
  • le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se una ragazza è simpatica);
  • le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poiché non è fissata un’altezza limite);
  • l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città è grande);

In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole , , , …e gli elementi con lettere minuscole , , , …

Se un elemento sta nell’insieme si scrive e si legge “ appartiene ad ”. Il simbolo “” si chiama simbolo di appartenenza.

Se un elemento non sta nell’insieme si scrive e si legge “ non appartiene ad ”. Il simbolo “” si chiama simbolo di non appartenenza.

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietà caratteristica dell’insieme.

Un altro modo per definire un insieme, oltre a quello di indicare la sua proprietà caratteristica, è quello di elencare i suoi elementi separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio: .

Per indicare alcuni insiemi specifici vengono utilizzati simboli particolari:

  • si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali: ;
  • si utilizza per indicare i numeri interi relativi: ;
  • si utilizza per indicare i numeri razionali: .

Esempio: Indica con il simbolo opportuno quali dei seguenti elementi appartengono o non appartengono all’insieme dei giorni della settimana: lunedì, martedì, gennaio, giovedì, dicembre, estate.


Gennaio e dicembre sono mesi dell’anno, perciò scriviamo:


Consideriamo l’insieme e l’insieme delle consonanti della parola “risate”. Possiamo osservare che e sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo che sono insiemi uguali.

Definizione: Due insiemi e si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso. In simboli si scrive . Altrimenti i due insiemi si dicono diversi, in simboli .


Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

Consideriamo l’insieme . Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme è privo di elementi.

Definizione: Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e lo si indica con il simbolo o .


Osservazione: ma dato che la scrittura rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.

Esempio: Alcuni insiemi vuoti.


  • L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;
  • l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;
  • l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.


La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1aC gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama insieme universo e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme è semplicemente un insieme che contiene . Solitamente l’insieme universo viene indicato con .

Cardinalità

Definizione: Si definisce cardinalità (o potenza) di un insieme finito il numero degli elementi dell’insieme. Essa viene indicata con uno dei seguenti simboli , #() o .


Per poter parlare di cardinalità di un insieme qualsiasi, che comprenda anche insiemi infiniti come gli insiemi numerici, occorre una definizione più complessa che qui non daremo.

Esempio: Esempi di cardinalità.


  1. L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano ha 5 elementi, quindi ;
  2. l’insieme dei multipli di 3 minori di 10 ha 3 elementi, quindi .


Rappresentazione degli insiemi

Esistono diversi modi per rappresentare un insieme e quindi per indicare con precisione i suoi elementi.

Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare è la descrizione più elementare di un insieme; consiste nell’elencare tutti gli elementi dell’insieme separati da virgole e racchiusi tra le parentesi graffe.

Per esempio, definiamo un insieme con la scrittura: . Non è importante l’ordine in cui vengono scritti gli elementi, cioè

È invece necessario che ogni elemento dell’insieme compaia una sola volta. Ad esempio, per rappresentare l’insieme delle lettere della parola “autunno”, scriviamo

Si può utilizzare questa rappresentazione anche per insiemi numerosi e addirittura infiniti. In questi casi si elencano i primi elementi dell’insieme e in fondo all’elenco si mettono tre punti di sospensione lasciando intendere come continuare la serie.

Per esempio, l’insieme dei multipli di 3 si può indicare con la seguente rappresentazione tabulare:

Esempio: Rappresentazione degli insiemi:


  • l’insieme dei primi 3 giorni della settimana si indica: ;
  • l’insieme delle lettere della parola “associazione” si indica: .


Rappresentazione per proprietà caratteristica

Per quegli insiemi i cui elementi soddisfano una certa proprietà che li caratterizza, possiamo usare proprio questa proprietà per descrivere più sinteticamente l’insieme che li contiene.

Per esempio, l’insieme dei divisori di 10 può essere definito come:

e si legge “ è l’insieme degli elementi tali che è un divisore di 10”.

In questa scrittura si mette in evidenza la caratteristica degli elementi dell’insieme. La rappresentazione tabulare dello stesso insieme è . L’espressione “tale che”, che è stata rappresentata per mezzo del simbolo “”, può essere indicata anche per mezzo del simbolo “:”.

La rappresentazione per caratteristica dell’insieme dei naturali minori di 15 è:

e si legge “ è l’insieme dei numeri naturali tali che è minore di 15”.

L’insieme che viene indicato nella prima parte della rappresentazione (nell’ultimo esempio è l’insieme dei numeri naturali ) è l’insieme universo (sezione [sect:universo]) al quale si fa riferimento. Questo metodo è particolarmente utile quando l’insieme da rappresentare contiene molti elementi.

Esempio: Esempi di definizioni di insiemi per mezzo della loro proprietà caratteristica:


  • l’insieme delle rette incidenti a una retta assegnata si può rappresentare come:
  • l’insieme dei numeri naturali maggiori di 100 può essere rappresentato come:
  • l’insieme dei numeri pari può essere rappresentato come:
  • l’insieme dei numeri interi relativi compresi tra e , estremi inclusi:


Rappresentazione grafica (Diagramma di Eulero-Venn)

In questa rappresentazione grafica, detta anche rappresentazione di Eulero-Venn[1] si disegna una linea chiusa all’interno della quale gli elementi dell’insieme si indicano con dei punti. Solitamente si scrive all’esterno il nome dell’insieme e vicino ad ogni punto il valore ad esso associato.

Esempio: è l’insieme dei numeri naturali minori di 6, cioè . La sua rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente


Diagramma di Eulero-Venn dei numeri naturali minori di 6
Diagramma di Eulero-Venn dei numeri naturali minori di 6


Esempio: è l’insieme delle lettere della parola “TARTARUGA”, . La sua rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente


Diagramma di Eulero-Venn delle lettere dellla parola "TARTARUGA"
Diagramma di Eulero-Venn delle lettere dellla parola "TARTARUGA"


Un insieme può essere rappresentato con una qualsiasi delle rappresentazioni indicate. Se un insieme è infinito o è costituito da un numero elevato di elementi la rappresentazione più pratica è quella per caratteristica.

Esempio: Rappresentare l’insieme dei multipli di 5.


  • Per caratteristica: oppure ,
  • Tabulare: . I puntini di sospensione indicano che l’elenco continua.
  • Rappresentazione con diagramma di Eulero-Venn:
Diagramma di Eulero-Venn dei multipli di 5
Diagramma di Eulero-Venn dei multipli di 5


Sottoinsieme

  1. in onore del matematico svizzero Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, (1707 - 1783) e del matematico e statistico inglese John Venn (1834 - 1923).