Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Relazioni

Proposizioni e predicati

In matematica frasi come “19 è maggiore di 5” o “Giove ruota intorno alla Terra” sono considerate proposizioni perché ad esse si può attribuire un preciso valore di verità, cioè si può stabilire se sono vere oppure false: la prima è una proposizione vera, la seconda è falsa.

Non sono proposizioni in senso matematico “Cosa stai studiando?”, “domani pioverà!”, “$x$ è un numero primo”: infatti la prima non è un’affermazione ma pone una domanda, la seconda è una esclamazione e quindi non possiamo stabilire se è vera o falsa; l’ultima contiene un elemento indeterminato e finché non si fissa il valore da attribuire a $x$, non si può decidere se la frase che lo riguarda è vera o falsa.

Ogni proposizione è formata da un predicato (verbo) e dai suoi argomenti (cose o persone alle quali il verbo si riferisce).

Analizzando le proposizioni sopra enunciate si ha:

Soggetto	Predicato	Complemento
19	è maggiore di	5
Giove	ruota attorno alla	Terra

Il soggetto e il complemento sono gli argomenti ai quali il predicato si riferisce. In alcune proposizioni il predicato si riferisce a due argomenti (il soggetto e il complemento) in altre ad un solo argomento: ad esempio, il predicato “essere numero primo” stabilisce semplicemente una caratteristica del numero 5 senza porre alcuna connessione con un altro argomento.

Definizione: Si dice predicato binario un predicato che si riferisce a due argomenti.

Relazioni in un insieme

Il termine relazione entra molto spesso in frasi del linguaggio naturale, lo usiamo per esprimere un generico legame tra due persone o tra due oggetti, anche senza specificarne la natura: “si è conclusa la relazione tra Anna e Paolo”, “l’allungamento di una sbarretta di ferro è in relazione con il calore fornito”, “la frana del terreno è in relazione con il disboscamento della zona e l’abusivismo edilizio”, “domani consegnerò la relazione di fisica”. Sono tutte espressioni che ci danno informazioni di un qualche collegamento tra gli argomenti (persone, cose) ai quali il termine relazione si riferisce.

Dal punto di vista matematico diamo la seguente definizione.

Definizione: Si dice relazione in un insieme $A$ un predicato binario che lega due elementi dell’insieme.

Esempio:

Nell’insieme $A=\{3{\text{, }}5{\text{, }}6{\text{, }}9{\text{, }}30\}$ è introdotto il predicato binario “essere multiplo di”; con esso formiamo le proposizioni vere scegliendo soggetto e complemento nell’insieme $A$:

30 è multiplo di 6;

9 è multiplo di 3;

30 è multiplo di 5;

3 è multiplo di 3;

9 è multiplo di 9;

…

Il predicato “essere multiplo” genera nell’insieme $A$ una relazione matematica. Esso non è il solo che permette di collegare tra loro due elementi di quell’insieme.

Se chiamiamo con ${\mathfrak {R}}$ il predicato binario che definisce la relazione introdotta nell’insieme, per indicare sinteticamente la proposizione avente come soggetto $a$, come complemento $b$ e come predicato ${\mathfrak {R}}$, scriviamo $a\,{\mathfrak {R}}\,b$ e diremo che $a$ è in relazione con $b$.

Esempio:

Con riferimento all’esempio precedente si ha: $A=\{3{\text{, }}5{\text{, }}6{\text{, }}9{\text{, }}30\}$ e ${\mathfrak {R}}$: “essere multiplo di”. Allora scriviamo: per qualunque $a$ e $b$ appartenenti ad $A$, $a\,{\mathfrak {R}}\,b$ se e solo se $a$ è multiplo di $b$, in simboli: $\forall a,b\in A\Leftrightarrow a{\text{ è multiplo di }}b$

$30\,{\mathfrak {R}}\,6;\quad 9\,{\mathfrak {R}}\,3;\quad 30\,{\mathfrak {R}}\,3;\quad 6\,{\mathfrak {R}}\,3;\quad 30\,{\mathfrak {R}}\,5;\quad 3\,{\mathfrak {R}}\,3;\quad 5\,{\mathfrak {R}}\,5;\quad 6\,{\mathfrak {R}}\,6;\quad 9\,{\mathfrak {R}}\,9;\quad 30\,{\mathfrak {R}}\,30.$

Abbiamo così formato un insieme di coppie ordinate di elementi tra loro in relazione: $30\,{\mathfrak {R}}\,5$ può anche essere indicata con la coppia ordinata $(30;5)$.

Definizione: Chiamiamo insieme della relazione $G_{\mathfrak {R}}$ l’insieme delle coppie ordinate i cui elementi sono gli argomenti del predicato binario, ossia sono in relazione tra di loro. Esso risulta essere un sottoinsieme del prodotto cartesiano dell’insieme $A$ con se stesso. Si rappresenta per proprietà caratteristica nel seguente modo $G_{\mathfrak {R}}=\{(a;b)\in A\times A\mid a\,{\mathfrak {R}}\,b\}$.

Grafico di una relazione

Dal momento che una relazione in un insieme $Y$ determina un sottoinsieme del prodotto cartesiano $Y\times Y$, è comodo rappresentare una relazione nello stesso diagramma usato per rappresentare il prodotto cartesiano. Una relazione può quindi essere rappresentata attraverso un grafico cartesiano.

Matrice o tabella di una relazione

Nella figura è rappresentata la classica griglia per il gioco della battaglia navale. Ogni cella è individuata da una coppia ordinata il cui primo elemento (una lettera dell’alfabeto) indica la riga, il secondo (un numero) indica la colonna; così la coppia $(D;5)$ indica la cella annerita.

Matrice di una relazione

Grafo di una relazione

Definizione: Un grafo è un insieme di punti, detti nodi, e di archi che uniscono coppie di punti.

Esempio:

Nel diagramma di Eulero-Venn della figura, relativo all’insieme $A=\{3,5,6,9,30\}$ rappresentiamo la relazione ${\mathfrak {R}}=$ “essere multiplo di” collegando, mediante una freccia, gli argomenti delle proposizione vere.

Grafo di una relazione

Come puoi osservare, l’elemento 30 è collegato con una freccia all’elemento 6 in quanto la proposizione “30 è multiplo di 6” è vera, ma non all’elemento 9 poiché la proposizione “30 è multiplo di 9” è falsa; inoltre la punta della freccia è sul numero 6 in quanto complemento del predicato “essere multiplo di” (si parla in tal caso di grafo orientato); infine su ciascun elemento abbiamo messo un “anello” o “cappio” per indicare che ogni elemento è in relazione con se stesso visto che per ogni elemento $a\in A$ la proposizione “$a$ è multiplo di $a$” risulta vera.