Algebra 1/Calcolo Letterale/Monomi: differenze tra le versioni

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Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo.
 
{{Algebra1/Definizione| Il ''minimo comune multiplo'' (<math>\text{mcm}</math>) di due o più monomi'' è il monomio che, tra tutti i monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore. }}
{{Algebra1/Definizione|
 
Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro  <math>\text{mcm}</math>, se non lo sono è opportuno scegliere  1.
Il ''minimo comune multiplo di due o più monomi'' è il monomio che, tra tutti i monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Per calcolare il minimo comune multiplo tra <math>5a^{3}b</math> e <math>10a^{2}b^{2}</math> dovremmo costruire i loro multipli finché non incontriamo quello comune che ha coefficiente numerico positivo più piccolo e grado minore:<br />
Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro <math>mcm</math>, se non lo sono è opportuno scegliere 1.
{{Testo centrato|
<math>5a^{3}b\text{ alcuni multipli: }10a^{3}b,di 10a^{3}b^{2}, 10a^{4}b, 15a5a^{3}b\dots</math> <math>10a^{2}b^{2}\text{ alcuni multiplisono: }10a^{23}b^\text{3}, }10a^{3}b^{2}\text{, }10a^{4}b^\text{2}, 20a}15a^{23}b^\text{2, }\dotsldots</math>
 
<math>\text{ alcuni multipli di }10a^{2}b^{2}\text{ sono: }10a^{2}b^{3}\text{, }10a^{3}b^{2}\text{, }10a^{4}b^{2}\text{, }20a^{2}b^{2}\text{, }\ldots</math>}}
{{Algebra1/Esempio|
 
Per calcolare ilIl minimo comune multiplo tra <math>5a^{3}b</math>è <math>10a^{23}b^{2}</math>. dovremmo costruire i loro multipli finché non incontriamo quello comune che ha coefficiente numerico positivo più piccolo e grado minore:}}
 
In realtà, applicando la definizione è poco pratico calcolare il  <math>\text{mcm}</math>, è utile invece la seguente procedura.
<math>5a^{3}b\text{ alcuni multipli: }10a^{3}b, 10a^{3}b^{2}, 10a^{4}b, 15a^{3}b\dots</math> <math>10a^{2}b^{2}\text{ alcuni multipli: }10a^{2}b^{3}, 10a^{3}b^{2}, 10a^{4}b^{2}, 20a^{2}b^{2}\dots</math>
 
title={{Algebra1/Procedura| Calcolo del  <math>\text{mcm}</math> tra due o più monomi|. &emsp;
Il minimo comune multiplo è <math>10a^{3}b^{2}</math>.
Il  <math>\text{mcm}</math> di un gruppo di monomi è il monomio che ha:
}}
 
In realtà applicando la definizione è poco pratico calcolare il <math>mcm</math>, è utile invece la seguente procedura.
 
{{Algebra1/Procedura|
title=Calcolo del <math>mcm</math> tra due o più monomi|
 
Il <math>mcm</math> di un gruppo di monomi è il monomio che ha:
 
*# per coefficiente numerico il  <math>\text{mcm}</math> dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende  1;
*# la parte letterale formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente maggiore con cui compare.
}}
 
title={{Algebra1/Esempio1| Calcola il minimo comune multiplo tra <math>5a^{3}bc</math>, <math>12ab^{2}c</math> e  <math>10a^{3}bc^{2}</math>.|<br />
{{Algebra1/Esempio|
title=Calcola il minimo comune multiplo tra <math>5a^{3}bc</math>, <math>12ab^{2}c</math> e <math>10a^{3}bc^{2}</math>.|
 
Il  <math>\text{mcm}</math> tra i coefficienti  5, 12, 10 è  60. Per ottenere la parte letterale osservo il grado maggiore delle lettere componenti i monomi, riporto tutte le lettere, comuni e non comuni, una sola volta con il grado maggiore con cui ciascuna compare:  <math>a^{3}b^{2}c^{2}</math>.<br />
 
In definitiva, il <math>\text{mcm}(5a^{3}bc;\text{, }12ab^{2}c;\text{, }10a^{3}bc^{2})=60a^{3}b^{2}c^{2}</math>. }}
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Calcola il <math>\text{mcm}(6x^{2}y\text{, }-\tfrac{1}{2}xy^{2}z\text{, }\tfrac{2}{3}x^{3}yz)</math>.<br />
{{Algebra1/Esempio|
title=Calcola il minimo comune multiplo tra <math>6x^{2}y;-\frac{1}{2}xy^{2}z;\frac{2}{3}x^{3}yz</math>.|
 
I coefficienti numerici dei monomi non sono interi, quindi il  <math>\text{mcm}</math> avrà come coefficiente  1.<br />
 
La parte letterale si costruisce mettendo insieme tutte le lettere che compaiono, prese una sola volta, (<math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>), ciascuna presa con l’esponente massimo, quindi  <math>x^{3}y^{2}z</math>.<br />
 
In definitiva <math>\text{mcm }(6x^{2}y;\text{, }-\fractfrac{1}{2}xy^{2}z;\fractext{, }\tfrac{2}{3}x^{3}yz)=x^{3}y^{2}z</math>. }}
}}
 
Assegnati due monomi, per esempio  <math>x^{2}y</math> e  <math>xy^{2}z</math>, calcoliamo  <math>mcd\text{MCD}</math> e <math>\text{mcm}</math>.
 
* <math>mcd \text{MCD}(x^{2}y;xy^\text{2}z)=xy</math>, e <math>mcm (x^{2}y;xy^{2}z)=x^{2}y^{2}zxy</math>.;
* <math>\text{mcm}(x^{2}y\text{, }xy^{2}z)=x^{2}y^{2}z</math>.
 
Moltiplichiamo ora  <math>mcd\text{MCD}</math> e  <math>\text{mcm}</math>,. abbiamoAbbiamo:  <math>xy\cdot x^{2}y^{2}z= x^{3}y^{3}z.</math> Moltiplichiamo ora i monomi assegnati. Abbiamo: <math>(x^{2}y)\cdot (xy^{2}z)=x^{3}y^{3}z.</math> Il prodotto dei due monomi è uguale al prodotto tra il <math>\text{MCD}</math> e il <math>\text{mcm}</math>. Si può dimostrare che questa proprietà vale in generale.
 
{{Algebra1/Box vuoto|'''Proprietà''': Dati due monomi, il prodotto tra il loro massimo comuncomune divisore e il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i monomi stessi.}}
Moltiplichiamo ora i monomi assegnati, abbiamo: <math>(x^{2}y)\cdot (xy^{2}z)=x^{3}y^{3}z.</math>
 
Il prodotto dei due monomi è uguale al prodotto tra il <math>mcd</math> e il <math>mcm</math>. Si può dimostrare che questa proprietà vale in generale.
 
{{Algebra1/Proprietà|
 
Dati due monomi, il prodotto tra il loro massimo comun divisore e il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i monomi stessi.
}}
 
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