Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Equazioni di primo grado

Identità ed equazioni

Analizziamo le seguenti proposizioni:

1. “cinque è uguale alla differenza tra sette e due”;
2. “la somma di quattro e due è uguale a otto”;
3. “il doppio di un numero naturale è uguale alla differenza tra nove e il numero stesso”;
4. “la somma di due numeri interi è uguale a dieci”.

Notiamo che sono tutte costruite con il predicato “essere uguale a”. Riscriviamo in formula ciascuna di esse:

1. $5=7-2$;
2. $4+2=8$;
3. $2x=9-x$;
4. $x+y=10$.

Notiamo che le prime due contengono solamente numeri, le seconde contengono anche variabili (lettere).

Le formule del primo tipo si dicono chiuse e di esse si può subito stabilire se sono vere o false; così in $\mathbb {N}$ la formula $5=7-2$ è vera, mentre $4+2=8$ è falsa.

Definizione: Le formule chiuse costruite con il predicato <<essere uguale>> si chiamano uguaglianze; definito l’ambiente in cui vengono enunciate si può immediatamente stabilire il loro valore di verità.

Esempio:

La formula chiusa $1-6=-5$ è un’uguaglianza vera se la consideriamo nell’insieme $\mathbb {Z}$ degli interi relativi, è falsa se la vediamo come sottrazione tra numeri naturali. 

Le formule 3. e 4. che contengono variabili si dicono aperte; le variabili che compaiono sono chiamate incognite. Di tali formule non si può subito stabilire il valore di verità.

Quando alle incognite sostituiamo un numero, queste si trasformano in formule chiuse e allora possiamo stabilirne il valore di verità relativamente alla sostituzione effettuata.

Esempio:

Nella formula $2x=9-x$ sostituiamo alla variabile $x$ il valore $0$; quindi otteniamo: $2\cdot 0=9-0\Rightarrow 0=9$, falsa.

Sostituiamo ora alla variabile $x$ il valore $3$; otteniamo $2\cdot 3=9-3\Rightarrow 6=6$, vera.

Esempio:

Nella formula $x+y=10$ sostituiamo alle variabili coppie di numeri interi come $x=2$ e $y=5$; otteniamo $2+5=10\Rightarrow 7=10$, falsa. Se sostituiamo $x=4$ e $y=6$ ci rendiamo subito conto che l’uguaglianza ottenuta è vera. Esistono molte altre coppie di numeri interi che rendono vera l’uguaglianza. 

Definizione: Le formule aperte costruite con il predicato essere uguale si chiamano equazioni; le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano rispettivamente primo membro e secondo membro.

L’insieme dei valori che sostituiti alle incognite trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera costituisce l’insieme soluzione (${\text{I.S.}}$) o più semplicemente la soluzione dell’equazione.

Affronteremo per ora equazioni in una sola incognita che, dopo aver svolto eventuali calcoli nei due membri, comparirà a grado 1 e i cui coefficienti sono numeri razionali. Cercheremo la sua soluzione nell’insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali, salvo esplicita indicazione differente.

Esempio:

Cercare le soluzioni nell’insieme indicato.

1. $x^{2}=1{\text{ con }}x\in \mathbb {N} .$ Risulta vera solo se a $x$ sostituiamo il valore 1; infatti 1 è l’unico numero naturale il cui quadrato è 1. L’insieme soluzione è $\{1\}$.
2. $x^{2}=1{\text{ con }}x\in \mathbb {Z}$. Risulta vera se a $x$ sostituiamo il valore 1 oppure il valore $-1$; infatti sia $-1$ che 1 elevati al quadrato danno 1. L’insieme soluzione è $\{-1{\text{, }}1\}$.
3. $x^{2}+1=0{\text{ con }}x\in \mathbb {R}$. Essendo la formula a sinistra dell’uguale la somma di un quadrato con il numero 1, si ottiene sempre un numero $\geq 1$ e non si può ottenere $0$, pertanto è impossibile trovare una soluzione, ovvero l’insieme soluzione è $\emptyset$.
4. $2x+3=(3+x)+x{\text{ con }}x\in \mathbb {Q}$. Eseguendo il semplice calcolo al secondo membro, ci rendiamo conto che qualunque valore venga sostituito all’incognita l’uguaglianza risulta vera. L’insieme soluzione è $\mathbb {Q}$.

In generale un’equazione in una incognita può essere:

1. determinata, quando l’insieme soluzione è un sottoinsieme proprio dell’insieme numerico considerato;
2. impossibile, quando l’insieme soluzione è l’insieme vuoto $\emptyset$;
3. indeterminata o identità, quando l’insieme soluzione coincide con l’insieme considerato.

Esempio:

Analizziamo le equazioni:

 $3\cdot x=0\qquad$; b. $0\cdot x=5\qquad$; c. $0\cdot x=0$.

Tutte e tre hanno la stessa struttura: il primo membro è il prodotto di un coefficiente numerico per un valore incognito, il secondo membro è un numero.

1. Per trovare l’insieme soluzione della prima equazione cerchiamo in $\mathbb {Q}$ il numero che moltiplicato per 3 dà come prodotto 0. L’unico numero che rende vera l’uguaglianza è zero. Quindi l’insieme delle soluzioni è $\{0\}$. L’equazione è determinata.
2. Per trovare l’insieme soluzione della seconda equazione cerchiamo in $\mathbb {Q}$ il numero che moltiplicato per 0 dà come prodotto 5. Per la proprietà della moltiplicazione quando moltiplichiamo per 0 il prodotto è 0, non otterremo mai 5. Quindi l’insieme soluzione è l’insieme vuoto $\emptyset$. L’equazione è impossibile.
3. Per trovare l’insieme soluzione della terza equazione cerchiamo in $\mathbb {Q}$ il numero che moltiplicato per zero dà come prodotto zero. Per la proprietà della moltiplicazione quando moltiplichiamo per 0 il prodotto è 0 qualunque sia l’altro fattore. Quindi l’insieme delle soluzioni è $\mathbb {Q}$. L’equazione è indeterminata.

In alcuni casi la soluzione di un’equazione si può trovare applicando semplicemente le proprietà delle operazioni.

Esempio:

Analizziamo lo schema operativo dell’equazione $3x-1=17{\text{ con }}x\in \mathbb {N}$.

Si opera sul valore incognito $x$ per ottenere 17:

${\text{entra}}x,{\text{ si moltiplica per tre}}\to 3\cdot x{\text{ si sottrae }}1\to 3\cdot x-1{\text{ si ottiene }}17.$

Qual è il valore in ingresso?

Per determinare il valore in ingresso basterà ripercorrere lo schema effettuando le operazioni inverse:

${\text{ da }}17{\text{ aggiungi }}1\to 18{\text{ dividi per tre }}\to 18:3\to x.$

La soluzione dell’equazione è $x=6$ e ${\text{I.S.}}$ (insieme soluzione) è $\{6\}$.

Per risolvere un’equazione più complessa come $\left({\tfrac {1}{2}}x+3\right)\cdot (-5+x)=12x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}$ con $x\in \mathbb {Q}$, non possiamo applicare il procedimento precedente; potremmo procedere per tentativi, sostituendo all’incognita alcuni valori scelti a caso e verificando se il valore assunto dal primo membro risulta uguale a quello assunto dal secondo membro. È evidente però che questo procedimento raramente porterà a trovare tutte le soluzioni di un’equazione.

Osservazione: Per risolvere un’equazione, cioè per determinare tutte le eventuali soluzioni, si procede applicando i principi d’equivalenza.