Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Equazioni di primo grado: differenze tra le versioni

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{{Algebra1/Definizione| Due equazioni sono ''equivalenti'' se hanno lo stesso insieme soluzione. }}
{{Algebra1/Definizione| Due equazioni sono ''equivalenti'' se hanno lo stesso insieme soluzione. }}


{{Box vuoto|'''Primo principio di equivalenza'''  Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione data uno stesso numero o una stessa espressione (definita per ogni valore dell’incognita) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.}}
{{Algebra1/Box vuoto|'''Primo principio di equivalenza''':  Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione data uno stesso numero o una stessa espressione (definita per ogni valore dell’incognita) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.}}


{{Box vuoto|'''Secondo principio di equivalenza'''  Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero non nullo o per un’espressione non nulla (definita per ogni valore attribuito all’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.}}
{{Algebra1/Box vuoto|'''Secondo principio di equivalenza''':  Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero non nullo o per un’espressione non nulla (definita per ogni valore attribuito all’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.}}


La forma più semplice (forma canonica) di un’equazione di primo grado in un’incognita è del tipo: {{Testo centrato|<math>x = \text{ numero}.</math>}}
La forma più semplice (forma canonica) di un’equazione di primo grado in un’incognita è del tipo: {{Testo centrato|<math>x = \text{ numero}.</math>}}


L’insieme soluzione di una equazione di questo tipo è semplicemente: {{Testo centrato|<math>\IS=\{\text{numero}\}.</math>}}
L’insieme soluzione di una equazione di questo tipo è semplicemente: {{Testo centrato|<math>\text{I.S.}=\{\text{numero}\}.</math>}}


Per esempio, l’insieme delle soluzioni dell’equazione <math>x = -3</math> è <math>\IS =\{-3\}</math>.
Per esempio, l’insieme delle soluzioni dell’equazione <math>x = -3</math> è <math>\text{I.S.} =\{-3\}</math>.


I principi sopra enunciati permettono di trasformare qualunque equazione nella forma canonica che ha lo stesso insieme soluzione di quella assegnata.
I principi sopra enunciati permettono di trasformare qualunque equazione nella forma canonica che ha lo stesso insieme soluzione di quella assegnata.

Versione delle 18:33, 5 giu 2016

Identità ed equazioni

Analizziamo le seguenti proposizioni:

  1. “cinque è uguale alla differenza tra sette e due”;
  2. “la somma di quattro e due è uguale a otto”;
  3. “il doppio di un numero naturale è uguale alla differenza tra nove e il numero stesso”;
  4. “la somma di due numeri interi è uguale a dieci”.

Notiamo che sono tutte costruite con il predicato “essere uguale a”. Riscriviamo in formula ciascuna di esse:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Notiamo che le prime due contengono solamente numeri, le seconde contengono anche variabili (lettere).

Le formule del primo tipo si dicono chiuse e di esse si può subito stabilire se sono vere o false; così in la formula è vera, mentre è falsa.

Definizione: Le formule chiuse costruite con il predicato <<essere uguale>> si chiamano uguaglianze; definito l’ambiente in cui vengono enunciate si può immediatamente stabilire il loro valore di verità.


Esempio:

La formula chiusa  è un’uguaglianza vera se la consideriamo nell’insieme  degli interi relativi, è falsa se la vediamo come sottrazione tra numeri naturali. 

Le formule 3. e 4. che contengono variabili si dicono aperte; le variabili che compaiono sono chiamate incognite. Di tali formule non si può subito stabilire il valore di verità.

Quando alle incognite sostituiamo un numero, queste si trasformano in formule chiuse e allora possiamo stabilirne il valore di verità relativamente alla sostituzione effettuata.

Esempio:

Nella formula  sostituiamo alla variabile  il valore ; quindi otteniamo: , falsa.

Sostituiamo ora alla variabile il valore ; otteniamo , vera.

Esempio:

Nella formula  sostituiamo alle variabili coppie di numeri interi come  e ; otteniamo , falsa. Se sostituiamo  e  ci rendiamo subito conto che l’uguaglianza ottenuta è vera. Esistono molte altre coppie di numeri interi che rendono vera l’uguaglianza. 

Definizione: Le formule aperte costruite con il predicato essere uguale si chiamano equazioni; le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano rispettivamente primo membro e secondo membro.

L’insieme dei valori che sostituiti alle incognite trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera costituisce l’insieme soluzione () o più semplicemente la soluzione dell’equazione.


Affronteremo per ora equazioni in una sola incognita che, dopo aver svolto eventuali calcoli nei due membri, comparirà a grado 1 e i cui coefficienti sono numeri razionali. Cercheremo la sua soluzione nell’insieme dei numeri razionali, salvo esplicita indicazione differente.

Esempio:

Cercare le soluzioni nell’insieme indicato.
  1. Risulta vera solo se a sostituiamo il valore 1; infatti 1 è l’unico numero naturale il cui quadrato è 1. L’insieme soluzione è .
  2. . Risulta vera se a sostituiamo il valore 1 oppure il valore ; infatti sia che 1 elevati al quadrato danno 1. L’insieme soluzione è .
  3. . Essendo la formula a sinistra dell’uguale la somma di un quadrato con il numero 1, si ottiene sempre un numero e non si può ottenere , pertanto è impossibile trovare una soluzione, ovvero l’insieme soluzione è .
  4. . Eseguendo il semplice calcolo al secondo membro, ci rendiamo conto che qualunque valore venga sostituito all’incognita l’uguaglianza risulta vera. L’insieme soluzione è .


In generale un’equazione in una incognita può essere:

  1. determinata, quando l’insieme soluzione è un sottoinsieme proprio dell’insieme numerico considerato;
  2. impossibile, quando l’insieme soluzione è l’insieme vuoto ;
  3. indeterminata o identità, quando l’insieme soluzione coincide con l’insieme considerato.

Esempio:

Analizziamo le equazioni:
1.  2.  3. 

Tutte e tre hanno la stessa struttura: il primo membro è il prodotto di un coefficiente numerico per un valore incognito, il secondo membro è un numero.

  1. Per trovare l’insieme soluzione della prima equazione cerchiamo in il numero che moltiplicato per 3 dà come prodotto 0. L’unico numero che rende vera l’uguaglianza è zero. Quindi l’insieme delle soluzioni è . L’equazione è determinata.
  2. Per trovare l’insieme soluzione della seconda equazione cerchiamo in il numero che moltiplicato per 0 dà come prodotto 5. Per la proprietà della moltiplicazione quando moltiplichiamo per 0 il prodotto è 0, non otterremo mai 5. Quindi l’insieme soluzione è l’insieme vuoto . L’equazione è impossibile.
  3. Per trovare l’insieme soluzione della terza equazione cerchiamo in il numero che moltiplicato per zero dà come prodotto zero. Per la proprietà della moltiplicazione quando moltiplichiamo per 0 il prodotto è 0 qualunque sia l’altro fattore. Quindi l’insieme delle soluzioni è . L’equazione è indeterminata.

In alcuni casi la soluzione di un’equazione si può trovare applicando semplicemente le proprietà delle operazioni.

Esempio:

Analizziamo lo schema operativo dell’equazione .

Si opera sul valore incognito per ottenere 17:

Qual è il valore in ingresso?

Per determinare il valore in ingresso basterà ripercorrere lo schema effettuando le operazioni inverse:

La soluzione dell’equazione è e (insieme soluzione) è .

Per risolvere un’equazione più complessa come con , non possiamo applicare il procedimento precedente; potremmo procedere per tentativi, sostituendo all’incognita alcuni valori scelti a caso e verificando se il valore assunto dal primo membro risulta uguale a quello assunto dal secondo membro. È evidente però che questo procedimento raramente porterà a trovare tutte le soluzioni di un’equazione.

Osservazione: Per risolvere un’equazione, cioè per determinare tutte le eventuali soluzioni, si procede applicando i principi d’equivalenza.

Principi di equivalenza

Definizione: Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione.


Primo principio di equivalenza:  Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione data uno stesso numero o una stessa espressione (definita per ogni valore dell’incognita) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.


Secondo principio di equivalenza:  Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero non nullo o per un’espressione non nulla (definita per ogni valore attribuito all’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.


La forma più semplice (forma canonica) di un’equazione di primo grado in un’incognita è del tipo:

L’insieme soluzione di una equazione di questo tipo è semplicemente:

Per esempio, l’insieme delle soluzioni dell’equazione è .

I principi sopra enunciati permettono di trasformare qualunque equazione nella forma canonica che ha lo stesso insieme soluzione di quella assegnata.

Equazioni intere