Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Problemi di primo grado

Un po’ di storia

Sin dall’antichità l’uomo si è trovato di fronte a difficoltà pratiche, legate alla vita quotidiana e ha perciò messo a punto strategie per superarle.

Sembra che nell’antico Egitto le periodiche piene del Nilo abbiano spinto l’uomo a sviluppare la capacità di tracciare rette parallele, rette perpendicolari, di misurare il perimetro e l’area di particolari figure geometriche o viceversa di calcolare le misure dei lati di poligoni di dato perimetro o data area per poter ridefinire i confini degli appezzamenti di terreno.

Il papiro di Rhind, testo egizio scritto in ieratico, risalente al 1700 , si autodefinisce “istruzioni per conoscere tutte le cose oscure” e contiene più di 85 problemi con relativi metodi di soluzione riguardanti il calcolo della capacità di recipienti e di magazzini, la ricerca dell’area di appezzamenti di terreno e altre questioni aritmetiche.

Nel problema 24 del papiro, ad esempio, viene calcolato il mucchio quando esso ed il suo settimo sono uguali a 19. Mucchio è l’incognita del problema, indicata con il termine aha il cui segno è .

Noi traduciamo la richiesta nell’equazione $x+{\tfrac {1}{7}}x=19$.

Nel 1202 Leonardo Pisano, conosciuto col nome paterno di “filius Bonacci” o Fibonacci, pubblicò il Liber Abaci in cui, a partire dall’ottavo capitolo, presenta vari metodi algebrici per la risoluzione di problemi di matematica applicata, legati alla realtà dell’epoca, in particolare all’ambiente commerciale. I nuovi “algoritmi” presentati da Fibonacci, intendevano facilitare la risoluzione dei problemi di calcolo evitando l’utilizzo dell’abaco. Nel 1223 a Pisa, l’imperatore Federico II di Svevia, assistette a un singolare torneo tra matematici dell’epoca; il problema proposto era il seguente:

<<Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?>>.

Fibonacci vinse la gara dando al quesito una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato. La soluzione fu trovata tramite l’individuazione di una particolare successione di numeri, nota appunto come successione di Fibonacci.

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Fiedrich Gauss già all’età di tre anni avrebbe corretto un errore di suo padre nel calcolo delle sue finanze. All’età di 10 anni fu autorizzato a seguire le lezioni di aritmetica di un certo Buttner. Un giorno, agli studenti particolarmente turbolenti, Buttner diede come compito di punizione il calcolo della somma dei primi 100 numeri naturali, da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la risposta esatta, “5050”. Si era accorto che mettendo in riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101; fece dunque il prodotto $100\times 101$ e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Buttner rimase sgomento.

Risoluzione dei problemi

« La risoluzione dei problemi [...] serve ad acuire l'ingegno e a dargli la facoltà di penetrare l'intera ragione di tutte le cose. »
(R. Descartes)

I problemi che possono presentarsi nel corso degli studi o nell’attività lavorativa sono di diversa natura: di tipo economico, scientifico, sociale, possono riguardare insiemi numerici o figure geometriche. La matematica ci può aiutare a risolvere i problemi quando essi possono essere tradotti in “forma matematica”, quando cioè è possibile trascrivere in simboli le relazioni che intercorrono tra le grandezze del problema.

Analizzeremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzati attraverso equazioni di primo grado in una sola incognita. Prima di buttarci alla risoluzione del problema, procediamo a: