Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Problemi di primo grado: differenze tra le versioni

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Analizzeremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzati attraverso equazioni di primo grado in una sola incognita. Prima di buttarci alla risoluzione del problema, procediamo a:
Analizzeremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzati attraverso equazioni di primo grado in una sola incognita. Prima di buttarci alla risoluzione del problema, procediamo a:

# una lettura “attenta” del testo al fine di individuare l’ambiente del problema, le parole chiave, i dati e le informazioni implicite, l’obiettivo;
# la scelta della grandezza incognita e la descrizione dell’insieme in cui si ricerca il suo valore, ragionando sull’obiettivo del problema (condizioni sull’incognita);
# la traduzione in “forma matematica” delle relazioni che intercorrono tra i dati e l’obiettivo, cioè l’individuazione dell’equazione risolvente;
# la risoluzione dell’equazione trovata;
# il confronto tra la soluzione trovata e le condizioni poste su di essa.

{{Algebra1/Problema| Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?<br />

La situazione può essere materialmente descritta con nella figura 1. Togliamo da ogni piatto della bilancia mezzo mattone, la bilancia è ancora in equilibrio come mostra la figura 2, da ciò possiamo dedurre che mezzo mattone pesa un chilo. Il mattone intero pesa dunque due chili.

[[File:Algebra1 prb fig001 bil.svg|center|Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone]]

Risolviamo ora il problema seguendo la procedura sopra suggerita:<br />

''Dati'':&nbsp; peso di un mattone <math>=</math> peso di mezzo mattone <math>+ 1 \text{kg}.</math><br />

''Obiettivo'':&nbsp; peso del mattone.<br />

''Procedura risolutiva'':&nbsp;<br />

Come incognita del problema possiamo scegliere il peso del mattone: la indichiamo con <math>p</math>. Il valore di <math>p</math> dovrà essere un numero positivo. L’equazione risolvente è la traduzione con formalismo matematico dell’unica relazione contenuta nel testo del problema: <math>p=1+\tfrac{1}{2}p</math>.<br />

Risolviamo l’equazione: <math>p-\tfrac{1}{2}p=1\Rightarrow\tfrac{1}{2}p=1\Rightarrow p=2\text{kg}.</math> La soluzione ottenuta è accettabile; il problema è determinato. }}

Versione delle 17:45, 6 giu 2016

Indice del libro

Un po’ di storia

Sin dall’antichità l’uomo si è trovato di fronte a difficoltà pratiche, legate alla vita quotidiana e ha perciò messo a punto strategie per superarle.

Sembra che nell’antico Egitto le periodiche piene del Nilo abbiano spinto l’uomo a sviluppare la capacità di tracciare rette parallele, rette perpendicolari, di misurare il perimetro e l’area di particolari figure geometriche o viceversa di calcolare le misure dei lati di poligoni di dato perimetro o data area per poter ridefinire i confini degli appezzamenti di terreno.

Il papiro di Rhind[1], testo egizio scritto in ieratico, risalente al 1700 , si autodefinisce “istruzioni per conoscere tutte le cose oscure” e contiene più di 85 problemi con relativi metodi di soluzione riguardanti il calcolo della capacità di recipienti e di magazzini, la ricerca dell’area di appezzamenti di terreno e altre questioni aritmetiche.

Nel problema 24 del papiro, ad esempio, viene calcolato il mucchio quando esso ed il suo settimo sono uguali a 19. Mucchio è l’incognita del problema, indicata con il termine aha il cui segno è Simbolo dell'Incognita aha del papiro di Rhind.

Noi traduciamo la richiesta nell’equazione .

Nel 1202 Leonardo Pisano, conosciuto col nome paterno di “filius Bonacci” o Fibonacci, pubblicò il Liber Abaci in cui, a partire dall’ottavo capitolo, presenta vari metodi algebrici per la risoluzione di problemi di matematica applicata, legati alla realtà dell’epoca, in particolare all’ambiente commerciale. I nuovi “algoritmi” presentati da Fibonacci, intendevano facilitare la risoluzione dei problemi di calcolo evitando l’utilizzo dell’abaco. Nel 1223 a Pisa, l’imperatore Federico II di Svevia, assistette a un singolare torneo tra matematici dell’epoca; il problema proposto era il seguente:

<<Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?>>.

Fibonacci vinse la gara dando al quesito una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato. La soluzione fu trovata tramite l’individuazione di una particolare successione di numeri, nota appunto come successione di Fibonacci.

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Fiedrich Gauss[2] già all’età di tre anni avrebbe corretto un errore di suo padre nel calcolo delle sue finanze. All’età di 10 anni fu autorizzato a seguire le lezioni di aritmetica di un certo Buttner. Un giorno, agli studenti particolarmente turbolenti, Buttner diede come compito di punizione il calcolo della somma dei primi 100 numeri naturali, da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede la risposta esatta, “5050”. Si era accorto che mettendo in riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101; fece dunque il prodotto e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Buttner rimase sgomento.

Risoluzione dei problemi

« La risoluzione dei problemi [...] serve ad acuire l'ingegno e a dargli la facoltà di penetrare l'intera ragione di tutte le cose. »
(R. Descartes)

I problemi che possono presentarsi nel corso degli studi o nell’attività lavorativa sono di diversa natura: di tipo economico, scientifico, sociale, possono riguardare insiemi numerici o figure geometriche. La matematica ci può aiutare a risolvere i problemi quando essi possono essere tradotti in “forma matematica”, quando cioè è possibile trascrivere in simboli le relazioni che intercorrono tra le grandezze del problema.

Analizzeremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzati attraverso equazioni di primo grado in una sola incognita. Prima di buttarci alla risoluzione del problema, procediamo a:

  1. una lettura “attenta” del testo al fine di individuare l’ambiente del problema, le parole chiave, i dati e le informazioni implicite, l’obiettivo;
  2. la scelta della grandezza incognita e la descrizione dell’insieme in cui si ricerca il suo valore, ragionando sull’obiettivo del problema (condizioni sull’incognita);
  3. la traduzione in “forma matematica” delle relazioni che intercorrono tra i dati e l’obiettivo, cioè l’individuazione dell’equazione risolvente;
  4. la risoluzione dell’equazione trovata;
  5. il confronto tra la soluzione trovata e le condizioni poste su di essa.

Problema:  Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?

La situazione può essere materialmente descritta con nella figura 1. Togliamo da ogni piatto della bilancia mezzo mattone, la bilancia è ancora in equilibrio come mostra la figura 2, da ciò possiamo dedurre che mezzo mattone pesa un chilo. Il mattone intero pesa dunque due chili.

Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone
Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone

Risolviamo ora il problema seguendo la procedura sopra suggerita:

Dati:  peso di un mattone peso di mezzo mattone

Obiettivo:  peso del mattone.

Procedura risolutiva

Come incognita del problema possiamo scegliere il peso del mattone: la indichiamo con . Il valore di dovrà essere un numero positivo. L’equazione risolvente è la traduzione con formalismo matematico dell’unica relazione contenuta nel testo del problema: .

Risolviamo l’equazione: La soluzione ottenuta è accettabile; il problema è determinato.


  1. Dal nome dell’inglese A. H. Rhind che lo comprò a Luxor nel 1858.
  2. matematico, astronomo e fisico tedesco (1777 - 1855).