Differenze tra le versioni di "Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Problemi di primo grado"

Jump to navigation Jump to search
# il confronto tra la soluzione trovata e le condizioni poste su di essa.
 
{{Algebra1/Problema| Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?<br /><br />
 
La situazione può essere materialmente descritta con nella figura 1. Togliamo da ogni piatto della bilancia mezzo mattone, la bilancia è ancora in equilibrio come mostra la figura 2, da ciò possiamo dedurre che mezzo mattone pesa un chilo. Il mattone intero pesa dunque due chili.
''Procedura risolutiva'':&nbsp;<br />
 
''Soluzione''&nbsp; Come incognita del problema possiamo scegliere il peso del mattone: la indichiamo con <math>p</math>. Il valore di <math>p</math> dovrà essere un numero positivo. L’equazione risolvente è la traduzione con formalismo matematico dell’unica relazione contenuta nel testo del problema: <math>p=1+\tfrac{1}{2}p</math>.<br />
 
Risolviamo l’equazione: <math>p-\tfrac{1}{2}p=1\Rightarrow\tfrac{1}{2}p=1\Rightarrow p=2\text{kg}.</math> La soluzione ottenuta è accettabile; il problema è determinato. }}
 
{{Algebra1/Problema| Aggiungendo ad un numero naturale i suoi tre quarti, si ottiene il suo doppio aumentato di 10. Qual è il numero?<br /><br />
 
L’ambiente del problema è numerico: si cerca un numero naturale. Indichiamo con <math>n</math> l’incognita cerchiamo quindi <math>n\in\mathbb{N}</math>. La lettura attenta del testo mette in luce le operazioni che dobbiamo eseguire sull’incognita e che traduciamo nei dati:<br />
 
''Dati'':&nbsp; <math>n+\tfrac{3}{4}n=2n+10</math>.<br />
 
''Obiettivo'':&nbsp; <math>n\in\mathbb{N}</math>.<br />
 
''Procedura risolutiva'':<br />
 
L’equazione risolvente è già indicata nei dati <math>n+\tfrac{3}{4}n=2n+10</math>.
 
Per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 4, otteniamo:
{{Testo centrato|
<math>4n+3n-8n=40\quad\Rightarrow\quad -n=40\quad\Rightarrow\quad n=-40.</math>}}
 
La soluzione non è accettabile per le condizioni poste; il problema non ha soluzione. }}
 
{{Algebra1/Problema| Il 1 gennaio 1990 Chiara aveva il doppio dell’età di Aldo; il 1 gennaio 2000 Chiara aveva vent’anni più di Aldo. Qual era l’età di Chiara il 1 gennaio 2010?<br /><br />
 
''Soluzione'' &nbsp;Leggendo attentamente il problema notiamo che le incognite sono due: l’età di Chiara e l’età di Aldo. Indichiamo perciò con <math>c</math> l’età di Chiara al 1990 e con <math>a</math> quella di Aldo.<br />
 
Nel 2000 la loro età sarà aumentata di 10 anni. Naturalmente la soluzione del problema sarà nell’insieme dei numeri naturali. Scriviamo dati e obiettivo usando il formalismo matematico:<br />
 
''Dati'':&nbsp; nel 1990: <math>c=2a</math>, nel 2000: <math>c+10=(a+10)+20</math>.<br />
 
''Obiettivo'':&nbsp; L’età di Chiara nel 2010.<br />
 
''Procedura risolutiva'':&nbsp; Osserviamo che una volta determinata l’età di Chiara nel 1990, basterà aggiungere a questa 20 per ottenere la soluzione, pertanto l’età di Chiara nel 2010 è <math>c+20</math>. Trasformiamo la seconda relazione riportata nei dati sostituendo l’informazione relativa al 1990, si ottiene <math>2a+10=a+10+20\Rightarrow 2a-a=20\Rightarrow a=20</math>. L’età di Aldo nel 1990 era 20, quindi <math>c=40</math>. Dunque, l’età di Chiara nel 2010 era <math>c+20=40+20=60</math>. La soluzione è accettabile; il problema è determinato. }}
 
{{Algebra1/Problema| Calcolare l’area di un rettangolo in cui l’altezza supera <math>\tfrac{1}{3}</math> della base di 8m e il perimetro è <math>\tfrac{20}{7}</math> della base stessa.<br /><br />
 
[[File:Algebra1 prb fig002 ret.svg|right|Area del rettangolo]]
 
''Soluzione'':&nbsp; Il problema è di tipo geometrico e riguarda un rettangolo. Facendo riferimento alla figura abbiamo:<br />
 
''Dati'':&nbsp; <math>\overline{AD}=\tfrac{1}{3}\overline{AB}+8</math>, <math>\quad 2p=\tfrac{20}{7}\overline{AB}</math>.<br />
 
''Obiettivo'':&nbsp; L’Area <math>\text{(ABCD)}.</math><br />
 
''Procedura risolutiva'':&nbsp; <math>\text{(ABCD)}=\text{ misura base }\cdot \text{ misura altezza }=\overline{AB}\cdot \overline{AD}</math>.<br />
 
Dobbiamo dunque determinare queste due misure. I dati del problema indicano che la misura dell’altezza dipende da quella della base; una volta trovata questa misura basta farne un terzo e aggiungere 8 per avere quella dell’altezza; questo ragionamento ci fa scegliere come incognita <math>\overline{AB}=x</math> con <math>x</math> numero reale positivo.<br />
 
Traduciamo con formalismo matematico la prima e la seconda relazione contenuta nei dati: <math>\overline{AD}=\tfrac{1}{3}x+8</math> e <math>2p=\tfrac{20}{7}x</math>.<br />
 
Sappiamo che il perimetro di un rettangolo è il doppio della somma della base con l’altezza. Riscriviamo con linguaggio matematico anche questa relazione: <math>2\cdot \left(x+\tfrac{1}{3}x+8\right)=\tfrac{20}{7}x</math> che risulta l’equazione risolvente.<br />
 
Svolgiamo i calcoli e otteniamo <math>4x=21\cdot 16\Rightarrow x=84\Rightarrow\overline{AB}=84</math> e quindi <math>\overline{AD}=36</math>. Ottenute le misure della base e dell’altezza calcoliamo <math>\text{(ABCD)}=36\cdot 84=[m^2]{3\,024}</math>. }}
 
{{Algebra1/Problema| In un triangolo rettangolo il perimetro è <math>120\text{cm}</math> e un cateto è <math>3/5</math> dell’ipotenusa. Determinare l’area del triangolo.<br /><br />
 
[[File:Algebra1 prb fig003 tri.svg|right|Area del triangolo]]
''Soluzione'':&nbsp; Il problema è di tipo geometrico e riguarda un triangolo rettangolo. Rappresentiamo il triangolo:<br />
 
''Dati'':&nbsp; <math>C\hat{A}B=</math> angolo retto, <math>2p= 120</math>, <math>\overline{AC}=\tfrac{3}{5}\overline{CB}</math>.<br />
 
''Obiettivo'':&nbsp; L’<math>\text{(ABC)}</math>.<br />
 
''Procedura risolutiva'':&nbsp; <math>\text{(ABC)} =\tfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot \overline{AC}</math>.<br />
 
Per calcolare l’area, occorre determinare la misura dei cateti del triangolo rettangolo; i dati del problema ci danno una relazione tra la misura di un cateto e la misura dell’ipotenusa; conosciamo anche il perimetro del triangolo.<br />
 
Scegliamo come incognita la misura in cm di <math>\overline{CB}</math>, cioè <math>\overline{CB}=x</math> con <math>x\in\mathbb{R}^{+}</math>.<br />
 
''Formalizziamo i dati'':
{{Testo centrato|
<math>\overline{CB} =x;\quad \overline{AC} =\tfrac{3}{5}x;\quad \overline{AB} +x+\tfrac{3}{5}x=120.\qquad (^*)</math>}}
 
Per poter scrivere un’equazione che ci permetta di determinare il valore dell’incognita ci manca la misura di <math>\overline{AB}</math>. Sembra che il problema sia privo di un’informazione. Tuttavia, il triangolo dato è rettangolo, quindi tra i suoi lati sussiste la relazione del teorema di Pitagora: <math>\overline {CB}^{2}=\overline {AB}^{2}+\overline {AC}^{2}</math>.<br />
 
Pertanto possiamo determinare la misura di <math>\overline{AB}</math>:
{{Testo centrato|
<math>\overline{AB}=\sqrt{\overline{CB}^{2}-\overline {AC}^{2}}=\sqrt{x^{2}-\left(\tfrac{3}{5}x\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{16}{25}x^{2}}=\tfrac{4}{5}x.</math>}}
 
Con questo dato riscriviamo la <math>({}^*)</math> che risulta essere l’equazione risolvente del problema
{{Testo centrato|
<math>\tfrac{4}{5}x+x+\tfrac{3}{5}x=120\quad\Rightarrow\quad 12x=120\cdot 5\quad\Rightarrow\quad x=50\quad\Rightarrow\quad\overline{CB}=50.</math>}}
 
Quindi <math>\overline {AC} = 30\text{cm}</math> e <math>\overline {AB}= 40\text{cm}\quad\Rightarrow\quad\text{(ABC)}=\tfrac{30\cdot 40}{2}=600\text{cm}^{2}</math>. }}
848

contributi

Menu di navigazione