Algebra 1/Statistica/Statistica Descrittiva

Indagine statistica

Il termine statistica significa scienza dello stato. Questo termine venne usato per la prima volta nel $XVI$ secolo per indicare lo studio dei dati utili al governo degli stati prevalentemente relativi a fenomeni di carattere demografico (nascite, morti, ecc.). Negli anni, la statistica si è estesa ai campi più disparati: fisica, psicologia, ricerca di mercato, indici di gradimento, sondaggi, meteorologia, …È nata essenzialmente con lo scopo di descrivere i fenomeni (statistica descrittiva), successivamente è divenuta uno strumento utile anche per fare previsioni (statistica inferenziale). A grandi linee si può definire come la scienza che si occupa della raccolta e dell’analisi dei dati relativi ad un certo gruppo di persone, animali o oggetti al fine di descrivere in maniera sintetica un fenomeno che li riguarda e fare eventualmente previsioni sul suo andamento futuro.

Ad esempio, la statistica cerca di rispondere a domande del tipo:

• quanta acqua sarà necessaria in Italia fra 3 anni?
• quanta corrente elettrica sarà necessaria per il fabbisogno nazionale fra 5 anni?
• quale sarà il tasso di disoccupazione nazionale fra 1 anno?

Definizione: L’insieme di elementi oggetto dell’indagine statistica è detta popolazione o universo, mentre ciascun elemento della popolazione è detto unità statistica.

Sono esempi di popolazione statistica gli abitanti di una città in un certo anno, i prezzi di un determinato bene, le temperature massime registrate in una giornata in un particolare luogo, i ciclomotori circolanti in Italia, gli alunni di una scuola.

Definizione: Per ogni unità statistica si possono studiare una o più caratteristiche ed ognuna di tali caratteristiche costituisce un carattere della popolazione oggetto di indagine. I caratteri possono essere di tipo qualitativo o quantitativo. Si definisce modalità del carattere indagato ciascuno dei diversi modi in cui esso può presentarsi.

Sono esempi di carattere qualitativo il colore degli occhi, il colore dei capelli, il tipo di scuola frequentato, il gradimento di un certo programma televisivo. Le modalità di un carattere qualitativo sono espresse mediante nomi o aggettivi. I caratteri qualitativi sono a loro volta suddivisi in ordinabili, cioè può essere definita una relazione di ordine tra essi (per ogni coppia di elementi si può stabilire quale dei due è il primo e quale il secondo – es. il tipo di scuola frequentato è ordinabile a partire dalla scuola dell’infanzia fino alla laurea, il gradimento di un programma televisivo è ordinabile a partire dalla completa mancanza di gradimento fino al gradimento massimo) e non ordinabili o sconnessi (es. colore degli occhi, colore dei capelli).

Sono invece caratteri quantitativi l’età, l’altezza, il numero di auto prodotte da una fabbrica, …, ovvero le modalità di un carattere quantitativo sono espresse mediante numeri. I caratteri quantitativi possono essere di tipo discreto, quando assumono solo valori puntuali, oppure di tipo continuo, quando possono assumere tutti gli infiniti valori compresi in un determinato intervallo. Sono esempi di caratteri quantitativi discreti il numero di figli in una famiglia, i pezzi prodotti in una catena di montaggio; sono esempi di caratteri quantitativi continui l’altezza di una persona, il peso di una persona, la lunghezza di un fiume.

L’indagine statistica può riguardare l’intera popolazione (in tal caso si parla di censimento) oppure solo una sua parte (in tal caso si parla di indagine a campione). Supponiamo di voler effettuare un’indagine relativa alle persone che fumano in Italia. Il fenomeno collettivo in esame è il fumo, la popolazione di riferimento è costituita dalla popolazione italiana in età adulta, l’unità statistica è rappresentata da ogni cittadino oggetto dell’indagine, i caratteri oggetto dell’indagine possono essere “fumatore/non fumatore”, “numero di sigarette fumate”, che cosa si fuma (es. pipa, sigaro, sigaretta). Data l’elevata numerosità della popolazione di riferimento la tipologia di indagine preferibile è quella a campione.

A sua volta, l’indagine a campione può essere effettuata su un campione casuale, quando si scelgono a caso i campioni all’interno della popolazione o su un campione stratificato, quando si suddivide la popolazione in classi o strati senza specifici criteri e per ogni strato si prende a caso un campione.

Fasi di un’indagine statistica

Definizione: Dato un carattere oggetto di rilevazione, si definisce frequenza il numero delle unità statistiche su cui una sua modalità si presenta.

Affinché un’indagine statistica sia rigorosa (e quindi garantisca un’elevata affidabilità) è necessario che sia strutturata secondo le seguenti fasi:

1. Studio del problema e impostazione dell’indagine statistica. Si individua in maniera precisa lo scopo della ricerca, il fenomeno sul quale indagare, la popolazione statistica di riferimento, le singole unità statistiche ed il carattere, o caratteri, oggetto di indagine.
2. Rilevazione dei dati statistici. La rilevazione non è altro che la raccolta dei dati statistici riguardanti ogni elemento della popolazione e relativi al fenomeno che si vuole analizzare. La rilevazione può avvenire secondo diverse modalità:

   rilevazione diretta o globale

   viene eseguita direttamente su tutte le unità statistiche che formano la popolazione;

   rilevazione indiretta o parziale

   eseguita solo su una parte della popolazione. Si deve scegliere in tal caso un sottoinsieme della popolazione, detto campione, che deve essere rappresentativo della popolazione di riferimento, ovvero deve essere il più possibile eterogeneo rispetto alle caratteristiche della popolazione e contenere al suo interno un numero non troppo ristretto di unità.

3. Spoglio delle schede e tabulazione. Contemporaneamente o successivamente al rilevamento, i dati raccolti vengono ordinati, suddivisi in classi omogenee e riassunti tramite tabelle dette tabelle statistiche.
4. Rappresentazione dei dati statistici. La rappresentazione può avvenire attraverso diversi tipi di grafico:

   diagramma cartesiano

   rappresentazione nel piano cartesiano dei valori della variabile sull’asse orizzontale e delle relative frequenze sull’asse verticale;

   ideogramma

   si rappresenta un certo numero di dati con un simbolo;

   diagramma a barre o a colonne

   grafico composto da segmenti o barre (orizzontali o verticali) proporzionali alle frequenze;

   areogramma

   grafico a forma di cerchio composto da settori circolari con aree direttamente proporzionali alle frequenze;

   istogramma

   grafico composto da rettangoli aventi area proporzionale alla frequenza.

5. Elaborazione dei dati. Con specifici algoritmi di calcolo, vengono elaborati i dati tabulati al fine di costruire opportuni indici di sintesi.
6. Interpretazione dei risultati. Attraverso i grafici e gli indici è possibile descrivere le caratteristiche peculiari del fenomeno analizzato.

Analizziamo in dettaglio le singole fasi che seguono la raccolta dei dati.

Spoglio delle schede e tabulazione

Dopo aver raccolto i dati per ciascuna modalità del carattere o per ciascuna classe individuata si deve determinare:

• la frequenza assoluta, cioè il numero di volte con cui si presenta una modalità del carattere indagato;
• la frequenza relativa, cioè il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale dei casi presi in esame;
• la frequenza percentuale, cioè la frequenza relativa moltiplicata per 100.

Si compila poi una tabella di frequenza che sintetizza la raccolta dei dati, come nell’esempio seguente.

Esempio: La tabella seguente fornisce la distribuzione di frequenze assolute degli alunni di una classe rispetto al carattere sesso.

Sesso Femmine Maschi Totale Numero di alunni 15 12 27

Per costruirla, si è operata la classificazione della popolazione degli alunni della classe rispetto ad un determinato carattere (il sesso), sono state individuate le modalità con cui questo si è manifestato (femmina, maschio) ed è stato effettuato il conteggio delle unità in corrispondenza di ciascuna modalità (frequenza assoluta). Dalle frequenze assolute si ricavano le frequenze relative: $15$ alunni su $27$ sono femmine: la frazione è di $15/27$ femmine sul totale degli alunni. Quindi Dall’operazione $15$ diviso $27$ otteniamo ${0,56}$ (approssimando a due cifre decimali) che è la frequenza relativa. La frazione può essere espressa in forma percentuale: ${0,56}$ equivale a dire $56$ su $100$ ed è consuetudine scriverlo in forma percentuale $56\%$. Tale valore è la frequenza percentuale. Ripetendo lo stesso procedimento per i maschi si ottiene la seguente tabella delle frequenze: Sesso Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale Femmine $15$ ${0,56}$ $56\%$ Maschi $12$ ${0,44}$ $44\%$ Si può concludere che la classe è formata per il $56\%$ da femmine e per il $44\%$ da maschi. Esempio: Supponiamo che i voti elencati di seguito siano quelli riportati in matematica a fine trimestre dagli alunni della tua classe: 5, 4, 6, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 6, 7. Per poter effettuare una lettura più agevole si costruisce una tabella in cui vengono riportati sulla prima colonna i singoli valori rilevati (le modalità del carattere) in ordine crescente, nella seconda la frequenza assoluta, cioè quante volte compare quel determinato voto, nella terza la frequenza relativa e nella quarta quella percentuale (che si ottiene moltiplicando per 100 la frequenza relativa): Voto riportato Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale $4$ $1$ $1/12={0,083}$ ${8,30}\%$ $5$ $3$ $3/12={0,25}$ ${25,00}\%$ $6$ $3$ $3/12={0,25}$ ${25,00}\%$ $7$ $3$ $3/12={0,25}$ ${25,00}\%$ $8$ $2$ $2/12={0,167}$ ${16,70}\%$ Totale $12$ $12/12=1$ $100\%$ Esempio: Misurando l’altezza di un gruppo di cani di razza pastore italiano si sono ottenute le seguenti misure in cm: ${57,1}$ ${60,8}$ ${60,7}$ ${56,2}$ ${59,5}$ ${62,4}$ ${56,1}$ ${61,2}$ ${54,5}$ ${64,5}$ ${57,5}$ ${58,3}$ ${55,2}$ ${58,7}$ ${57,2}$ ${56,1}$ ${58,9}$ ${57,7}$ ${53,2}$ ${59,2}$ ${58,9}$ ${54,5}$ ${55,3}$ ${62,1}$ ${59,0}$ ${58,3}$ ${61,3}$ ${60,1}$ ${56,4}$ ${60,2}$ ${61,7}$ ${57,3}$ ${58,3}$ ${59,5}$ ${62,6}$ ${59,4}$ ${58,3}$ ${59,4}$ ${59,4}$ ${59,3}$ ${57,6}$ ${60,0}$ ${60,7}$ ${56,7}$ ${61,1}$ ${59,8}$ ${55,3}$ ${63,9}$ ${58,0}$ ${55,2}$ ${54,9}$ ${53,8}$ Il carattere indagato nella popolazione cani pastore italiano è di tipo quantitativo continuo; con questo tipo di dati è praticamente impossibile calcolare le frequenze se le altezze non si raggruppano in classi. Vediamo come procedere: osservando i dati ottenuti si nota che il valore minore è ${53,8}$ mentre il valore maggiore è ${64,7}$. Possiamo allora suddividere i dati in gruppi partendo da $[cm]{53,0}$ fino a $[cm]{65,0}$, formando classi di ampiezza $1{\text{cm}}$ e ottenendo la seguente tabella: Classe (cm) Frequenza assoluta Frequenza percent. Classe (cm) Frequenza assoluta Frequenza percent. ${53,0}-{53,9}$ $2$ ${3,85}\%$ ${59,0}-{59,9}$ $9$ ${17,31}\%$ ${54,0}-{54,9}$ $3$ ${5,77}\%$ ${60,0}-{60,9}$ $6$ ${11,54}\%$ ${55,0}-{55,9}$ $4$ ${7,69}\%$ ${61,0}-{61,9}$ $4$ ${7,69}\%$ ${56,0}-{56,9}$ $5$ ${9,61}\%$ ${62,0}-{62,9}$ $3$ ${5,77}\%$ ${57,0}-{57,9}$ $6$ ${11,54}\%$ ${63,0}-{63,9}$ $1$ ${1,92}\%$ ${58,0}-{58,9}$ $8$ ${15,38}\%$ ${64,0}-{64,9}$ $1$ ${1,92}\%$ Riassumendo Dalla popolazione statistica ai caratteri Rappresentazione grafica La rappresentazione grafica dei dati statistici facilita notevolmente lo studio delle caratteristiche del fenomeno che si sta esaminando; infatti dopo aver impostato l’indagine, raccolto, classificato ed elaborato i dati nelle tabelle, i dati non sempre si presentano in una forma di facile lettura ed il loro significato e la loro interpretazione rimane poco chiara. Attraverso la rappresentazione grafica, i risultati dell’indagine emergono immediatamente, in maniera diretta e sintetica. La rappresentazione grafica può avvenire utilizzando diversi tipi di grafico a seconda delle caratteristiche da analizzare. Diagramma cartesiano La rappresentazione grafica attraverso un diagramma cartesiano dà, in modo immediato, informazioni sull’andamento globale del fenomeno e viene utilizzata prevalentemente per la rappresentazione di serie storiche (per esempio, per rappresentare il numero di auto prodotte per anno da una fabbrica) oppure quando si hanno due caratteri quantitativi e si vuol analizzare il tipo di legame esistente fra di essi. Esempio: Consideriamo la tabella statistica relativa alla domanda “quante ore al giorno passi al computer?”, posta ad un campione di 50 ragazzi dai 16 ai 24 anni. Rappresentazione statistica con diagramma cartesiano Rappresentiamo la tabella attraverso un diagramma cartesiano costruito tracciando due rette perpendicolari, gli assi, quello verticale orientato verso l’alto e quello orizzontale orientato verso destra. Riportiamo sull’asse orizzontale il numero di ore e sull’asse verticale il numero di ragazzi e determiniamo i punti aventi come coordinate (numero ore; numero ragazzi). Il punto $A$ avrà come coordinate $(0;4)$, il punto $B$ avrà come coordinate $(1;6)$ e così via. Uniamo poi i punti con segmenti e otteniamo il diagramma cartesiano. Precisamente $A(0;4)$, $B(1;6)$, $C(2;12)$, $D(3;16)$, $E(4;8)$, $F(5;4)$, $G(6;2)$. Numero di ore 0 1 2 3 4 5 6 Numero di ragazzi 4 6 12 16 8 4 2 Diagramma cartesiano per rappresentazione statistica Dal grafico si può notare immediatamente che la maggior parte dei ragazzi trascorre dalle 2 alle 3 ore al computer dato che il picco più alto si ha proprio nei punti $C$ e $D$. Si può anche notare che, ad esempio, il punto $X$ di coordinate $({3,5};12)$, appartenente al segmento di congiunzione tra i punti $D$ ed $E$, non ha significato reale, dato che le sue coordinate non sono riportate nella tabella statistica del fenomeno da studiare. Ideogramma Nella rappresentazione grafica attraverso ideogramma si rappresenta un certo numero di dati con un simbolo che si assume come unità grafica; il simbolo deve richiamare l’oggetto dell’indagine e dare quindi una visione immediata del fenomeno. Ad esempio si può utilizzare un uomo stilizzato per rappresentare un dato riguardante il numero di persone che vivono in un determinato territorio, una macchina per la produzione annua di automobili in una fabbrica, e così via. Tale tipo di rappresentazione è spesso usata in campo pubblicitario perché caratterizzata da un evidente impatto visivo. Esempio: Un istituto scolastico ha visto aumentare i suoi iscritti, dall’anno scolastico 2003-2004 all’anno 2008-2009 secondo quanto riportato nella seguente tabella: Anno scolastico 2003-04 2004-05 2005-06 2006-07 2007-08 2008-09 Iscritti 150 200 200 325 375 450 Possiamo rappresentare mediante ideogramma i dati contenuti nella tabella statistica. Consideriamo una faccina stilizzata come unità grafica assegnandole il valore di 50 ragazzi iscritti. Esempio di ideogramma Il numero degli iscritti di ogni anno scolastico sarà rappresentato da tante unità grafiche quanti sono i gruppi di 50 iscritti. Per avere il grafico relativo all’anno 2003-2004 si devono usare tre faccine, in quanto $150:50=3$. Esempio di ideogramma Se la divisione del numero degli iscritti per 50 dà resto, esso si dovrà rappresentare disegnando solo una parte dell’unità grafica, corrispondente alla frazione tra resto e 50. Ad esempio nell’ a.s. 2006-2007 ci sono stati 325 iscritti; $325:50=6$ col resto di 25, quindi 325 sarà uguale a 6 unità grafiche e ${\tfrac {25}{50}}={\tfrac {1}{2}}$ unità grafica, cioè mezza faccina, ovvero $325:50={6,5}$ cioè 6 faccine e mezzo. Esempio di ideogramma Il grafico completo sarà: Esempio di ideogramma Diagramma a barre o a colonne