Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Vettori: differenze tra le versioni

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== Operazioni con i vettori ==
== Operazioni con i vettori ==



=== Somma di vettori ===
{{Algebra1/Definizione| Nel punto <math>A</math> del piano sono applicati due vettori <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math>: dall’estremo <math>B</math> si traccia la retta parallela ad <math>AC</math> e da <math>C</math> la parallela ad <math>AB</math> indicando con <math>D</math> il loro punto di intersezione. Si definisce ''somma dei vettori'' <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math> il vettore <math>\vec{w}</math> individuato dalla diagonale <math>AD</math> del parallelogramma <math>ABDC</math> e si scrive <math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}</math>. }}

[[File:Algebra1 vtt fig008 vet.svg|center|Somma di due vettori]]

Nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1682, Isaac Newton<ref>matematico, fisico, filosofo, astronomo, teologo e alchimista inglese (1642 - 1727).
</ref> nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: &lt;&lt;un corpo spinto da due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati&gt;&gt;.

Illustriamo con un esempio che per la somma di vettori vale la proprietà associativa.

{{Algebra1/Esempio1| Dimostriamo che vale <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math>.<br />

[[File:Algebra1 vtt fig010a som.svg|center|verifica pr. associativa somma di vettori]]

Nella prima figura è realizzata la costruzione <math>\vec{v}+\vec{w}=\vec{k}</math> e <math>\vec{u}+\vec{k}=\vec{j}</math>. Nell'altra figura è realizzata la costruzione <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{z}</math> e <math>\vec{z}+\vec{w}=\vec{j}</math>. Sovrapponendo le due figure si può constatare che i due vettori <math>\vec{j}</math> risultanti coincidono. }}

[[File:Algebra1 vtt fig008 vet.svg|right|Somma di due vettori]]
Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permette di costruire la somma di più vettori. Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresentante di uno spostamento dal primo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura [fig:F.5] come lo spostamento di un punto prima da <math>A</math> fino a <math>B</math> e poi da questo fino a <math>D</math>, essendo <math>\overrightarrow{BD}</math> un vettore equipollente ad <math>\overrightarrow{AC}</math> (cambia soltanto il punto di applicazione). Quindi possiamo affermare che il vettore somma di due vettori <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math> si può determinare prendendo due vettori <math>\overrightarrow{AB}</math> e <math>\overrightarrow{BC}</math> rispettivamente equipollenti ai dati; se <math>\overrightarrow{AB} \equiv \vec{u}</math> e <math>\overrightarrow{BC} \equiv \vec{v}</math> allora la somma è il vettore <math>\overrightarrow{AC}</math> avente <math>A</math> come primo estremo e <math>C</math> come secondo estremo.

[[File:Algebra1 vtt fig011 som.svg|center|Somma di vettori]]

Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.

{{Algebra1/Esempio1| Somma di più vettori: <math>\vec{z}+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{s}</math>.<br />

[[File:Algebra1 vtt fig012 som.svg|center|Somma di più vettori]]

}}


Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore somma di vettori; vediamo come si determinano le componenti del vettore somma se la questione è posta nel riferimento cartesiano ortogonale.

{{Algebra1/Esempio1| Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale costruiamo il vettore somma dei vettori <math>\vec{u}(1;2)</math> e <math>\vec{v}(3;-1)</math> e determiniamone le componenti.<br />

Strategia risolutiva:

# posizioniamo i vettori <math>\vec{u}</math> e <math>\vec{v}</math> con il punto di applicazione nell’origine del sistema cartesiano;
# costruiamo il vettore <math>\vec{w}</math> equipollente al vettore <math>\vec{v}</math> applicato al punto <math>A</math>;
# determiniamo il punto <math>D(4;1)</math>;
# costruiamo il vettore <math>\vec{z}=\vec{u}+\vec{v}</math> di coordinate <math>\vec{z}(4;1)</math>.

[[File:Algebra1 vtt fig013 som.svg|center|Componenti di un vettore]]

Osserviamo che il primo passo realizzato ci permette di affermare <math>x_z=x_u+x_v</math> e <math>y_z=y_u+y_v</math>. }}

{{Algebra1/Procedura| Note le componenti cartesiane dei vettori addendi <math>\vec{u}=(x_u;y_u)</math> e <math>\vec{v}=(x_v;y_v)</math> le componenti cartesiane del vettore somma <math>\vec{z}=(x_z;y_z)</math> si ottengono con la regola del parallelogramma:<br />

Il primo passo realizzato nella costruzione precedente ci permette di affermare che le componenti del vettore somma <math>\vec{z}</math> sono la somma delle componenti dei vettori addendi:
{{Testo centrato|
<math>x_z=x_u+x_v\quad\text{e}\quad y_z=y_u+y_v.</math>}} }}

'''Applicazioni dei vettori'''&nbsp;
I vettori sono degli enti geometrici che vengono spesso utilizzati in fisica per rappresentare tutte le grandezze che sono definite conoscendo modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Esempi di grandezze vettoriali sono: la velocità, l’accelerazione, la forza, il campo elettrico.

{{Algebra1/Esempio1| Nella figura seguente sono rappresentate tre scatole viste dall’alto e su ognuna di esse agiscono due forze, come rappresentato in figura. Calcola la forza risultante <math>\vec{r}</math> in ognuno dei casi, sapendo che una forza ha modulo <math>4 \text{N}</math> e l’altra <math>9 \text{N}</math>.

[[File:Algebra1 vtt fig019 eser.svg|center|Esercizio sulle forze]]

''Svolgimento:''

# Nel primo caso (<math>A</math>) i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso, quindi la risultante si ottiene addizionando semplicemente i due moduli: <math>|\vec{r}|=4 +9 =13 \text{N}</math>;
# Nel secondo caso (<math>B</math>) poiché i vettori sono opposti come verso, si procede sottraendo al vettore maggiore il vettore minore e la forza risultante ha la direzione ed il verso del vettore di modulo maggiore: <math>|\vec{r}|=9 - 5 =4 \text{N}</math>.
# Nel terzo caso (<math>C</math>) i due vettori hanno direzioni perpendicolari, quindi il vettore somma si ottiene con il metodo del parallelogramma. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora:
{{Testo centrato|
<math>|\vec{r}|=\sqrt{4^2+9^2}=\sqrt{97}\simeq [N]{9,85}.</math>}}
}}

=== Differenza tra vettori ===

Versione delle 15:59, 16 giu 2016

Indice del libro

Prime definizioni

Sappiamo che due punti e presi su una retta determinano il segmento di estremi e ; fissiamo su di esso un verso di percorrenza, per esempio da verso .

Definizione: Il segmento orientato di estremi e si chiama vettore; esso viene indicato con oppure con ; il punto è il primo estremo e il secondo estremo.


Un vettore libero è caratterizzato da tre elementi:

  • la direzione indicata dalla retta su cui esso giace;
  • il verso indicato dalla punta della freccia che dal primo estremo va al secondo estremo;
  • il modulo o intensità, uguale alla misura del segmento : scriveremo e leggeremo “il modulo del vettore è uguale alla misura del segmento ”.

Un vettore applicato è caratterizzato, oltre che dai tre elementi suddetti, anche dal punto di applicazione, ovvero il punto da cui parte la freccia, chiamato anche primo estremo del vettore.

Esempio:

I due vettori  e  nella figura appartengono alla stessa retta, quindi hanno stessa direzione, verso opposto e modulo diverso.
Direzione, verso e modulo di un vettore
Direzione, verso e modulo di un vettore


Esempio:

I due vettori  e  in figura [fig:F.2] appartengono a rette parallele, quindi hanno stessa direzione. I loro versi sono opposti e hanno uguale intensità: essi si chiamano vettori opposti e scriveremo .
Vettori opposti
Vettori opposti


Esempio:

I due vettori  e  in figura [fig:F.3] appartengono a rette parallele, quindi hanno stessa direzione. Hanno lo stesso verso e uguale intensità: essi si chiamano equipollenti e scriveremo .
Vettori equipollenti
Vettori equipollenti


Componenti di vettori
Componenti di vettori

Osserviamo che un vettore può essere interpretato come uno spostamento dal primo estremo al secondo estremo, avente la direzione della retta cui appartiene il vettore stesso nel verso indicato dalla freccia. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale è rappresentato il vettore avente il primo estremo nel punto e il secondo estremo in . Per andare da a si possono compiere diversi percorsi: possiamo procedere sul vettore oppure possiamo scegliere di compiere due spostamenti particolari, uno parallelo all’asse e l’altro parallelo all’asse . In tal modo si determina il punto come “tappa intermedia” per raggiungere : ci spostiamo sul vettore e poi da sul vettore .

Definizione: Chiamiamo componenti del vettore le misure con segno dei segmenti e paralleli a quelli degli assi coordinati, con la precisazione di assegnare il segno alle misure dello spostamento avente lo stesso verso degli assi coordinati e segno se il verso è opposto a quello degli assi coordinati.


Nella figura precedente figura le componenti del vettore assegnato sono positive in quanto sia lo spostamento orizzontale che quello verticale avvengono nello stesso verso degli assi coordinati. Scriveremo . Tutti i vettori del piano cartesiano di componenti sono equipollenti a . Ciò che li distingue in modo univoco è il loro punto di applicazione.

Esempio:

Il vettore  della figura ha componenti entrambe negative poiché lo spostamento orizzontale e quello verticale avvengono in verso contrario rispetto al verso degli assi coordinati: scriveremo . Il vettore  della figura [fig:F.4] (b) ha la componente lungo l’asse  positiva e quella verticale negativa: scriveremo .
Componenti di vettori
Componenti di vettori

Procedura: Determinare le componenti cartesiane di un vettore , note le coordinate cartesiane degli estremi e :

  1. dal primo estremo tracciamo la parallela all’asse e dal secondo estremo la parallela all’asse determinando il punto ;
  2. calcoliamo le misure con segno , ;
  3. scriviamo ovvero .


Ottenute le componenti si determina il modulo del vettore utilizzando il teorema di Pitagora; si ha infatti . Il rapporto indica invece la direzione del vettore.

Esempio:

Esercizio sui vettori
Esercizio sui vettori

Assegnato il vettore della figura a fianco, determinate le sue componenti, il modulo e la direzione. Completate i passi indicati nella strategia risolutiva:

  • scrivete le coordinate degli estremi del vettore assegnato e ;
  • individuate le componenti del vettore :
    • segnate il punto e calcolate e ;
    • le componteni del vettore sono ;
  • determinate il modulo del vettore ;
  • determinate la direzione del vettore .


Esempio:

Esercizio sui vettori
Esercizio sui vettori

Tracciate nel riferimento cartesiano ortogonale il vettore . Nella richiesta di questo quesito sembra manchi qualcosa: conosciamo le componenti del vettore, ma dove mettiamo il primo estremo? Provate a mettere il primo estremo in ciascuno dei seguenti punti: , , e determinate il secondo estremo di ciascun vettore; completate indicando per ciascuno di essi il modulo e la direzione. È vero che tutti i vettori tracciati sono equipollenti? In figura è rappresentato il vettore equipollente a quelli costruiti avente il primo estremo nell’origine del riferimento?

Osservazione: Quando si assegna un vettore (libero) mediante le sue componenti, collocheremo il primo estremo nell’origine del riferimento cartesiano ortogonale e il secondo estremo (punta della freccia) avrà come coordinate le componenti del vettore in questione.

Operazioni con i vettori

Definizione: Nel punto del piano sono applicati due vettori e : dall’estremo si traccia la retta parallela ad e da la parallela ad indicando con il loro punto di intersezione. Si definisce somma dei vettori e il vettore individuato dalla diagonale del parallelogramma e si scrive .


Somma di due vettori
Somma di due vettori

Nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1682, Isaac Newton[1] nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: <<un corpo spinto da due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati>>.

Illustriamo con un esempio che per la somma di vettori vale la proprietà associativa.

Esempio:

Dimostriamo che vale .
verifica pr. associativa somma di vettori
verifica pr. associativa somma di vettori

Nella prima figura è realizzata la costruzione e . Nell'altra figura è realizzata la costruzione e . Sovrapponendo le due figure si può constatare che i due vettori risultanti coincidono.

Somma di due vettori
Somma di due vettori

Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permette di costruire la somma di più vettori. Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresentante di uno spostamento dal primo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura [fig:F.5] come lo spostamento di un punto prima da fino a e poi da questo fino a , essendo un vettore equipollente ad (cambia soltanto il punto di applicazione). Quindi possiamo affermare che il vettore somma di due vettori e si può determinare prendendo due vettori e rispettivamente equipollenti ai dati; se e allora la somma è il vettore avente come primo estremo e come secondo estremo.

Somma di vettori
Somma di vettori

Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.

Esempio:

Somma di più vettori: .
Somma di più vettori
Somma di più vettori



Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore somma di vettori; vediamo come si determinano le componenti del vettore somma se la questione è posta nel riferimento cartesiano ortogonale.

Esempio:

Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale costruiamo il vettore somma dei vettori  e  e determiniamone le componenti.

Strategia risolutiva:

  1. posizioniamo i vettori e con il punto di applicazione nell’origine del sistema cartesiano;
  2. costruiamo il vettore equipollente al vettore applicato al punto ;
  3. determiniamo il punto ;
  4. costruiamo il vettore di coordinate .
Componenti di un vettore
Componenti di un vettore

Osserviamo che il primo passo realizzato ci permette di affermare e .

Procedura: Note le componenti cartesiane dei vettori addendi e le componenti cartesiane del vettore somma si ottengono con la regola del parallelogramma:

Il primo passo realizzato nella costruzione precedente ci permette di affermare che le componenti del vettore somma sono la somma delle componenti dei vettori addendi:


Applicazioni dei vettori  I vettori sono degli enti geometrici che vengono spesso utilizzati in fisica per rappresentare tutte le grandezze che sono definite conoscendo modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Esempi di grandezze vettoriali sono: la velocità, l’accelerazione, la forza, il campo elettrico.

Esempio:

Nella figura seguente sono rappresentate tre scatole viste dall’alto e su ognuna di esse agiscono due forze, come rappresentato in figura. Calcola la forza risultante  in ognuno dei casi, sapendo che una forza ha modulo  e l’altra .
Esercizio sulle forze
Esercizio sulle forze

Svolgimento:

  1. Nel primo caso () i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso, quindi la risultante si ottiene addizionando semplicemente i due moduli: ;
  2. Nel secondo caso () poiché i vettori sono opposti come verso, si procede sottraendo al vettore maggiore il vettore minore e la forza risultante ha la direzione ed il verso del vettore di modulo maggiore: .
  3. Nel terzo caso () i due vettori hanno direzioni perpendicolari, quindi il vettore somma si ottiene con il metodo del parallelogramma. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora:

Differenza tra vettori

  1. matematico, fisico, filosofo, astronomo, teologo e alchimista inglese (1642 - 1727).