Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli: differenze tra le versioni

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=== Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo ===
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|-1+3x\right|=7x+4.</math><br />
 
L’equazione presenta un valore assoluto al primo membro.<br />
 
Tenendo conto che
{{Testo centrato|
<math>\left|-1+3x\right|={\begin{cases}-1+3x & \text{ se }-1+3x\ge 0\Rightarrow x\ge \tfrac 1 3\\1-3x & \text{ se }-1+3x<0\Rightarrow x<\tfrac 1 3\end{cases}\text{,}}</math>
}}
l’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x\ge \tfrac 1 3}\\{-1+3x=7x+4}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x<\tfrac 1 3}\\{1-3x=7x+4}\end{array}\right..</math>
}}
 
Risolvendo si ha
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x\ge \tfrac 1 3}\\{4x=-5\Rightarrow x=-\tfrac 5 4}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x<\tfrac 1 3}\\{10x=-3\Rightarrow x=-\tfrac 3{10}}\end{array}\right..</math>
}}
 
La soluzione <math>-\tfrac 5 4</math> non è accettabile in quanto non è maggiore di <math>\tfrac 1 3</math>. Pertanto rimane la soluzione <math>x=-\tfrac 3{10}</math> (che è minore di <math>\tfrac{1}{3}.</math>)
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|-2x+5\right|=x-3</math>.<br />
 
Esplicitiamo i due casi dell’argomento
{{Testo centrato|
<math>\left|-2x+5\right|=\begin{cases}-2x+5 & \text{ se }-2x+5\ge 0\Rightarrow x\le \tfrac 5 2\\2x-5 & \text{ se }-2x+5<0\Rightarrow x>\tfrac 5 2\end{cases}.</math>
}}
L’equazione si trasforma quindi nell’unione dei due sistemi:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x\le \tfrac 5 2}\\{-2x+5=x-3}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x>\tfrac 5 2}\\{2x-5=x-3}\end{array}\right..</math>
}}
 
Risolviamo ciascun sistema
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x\le \tfrac 5 2}\\{-3x=-8\Rightarrow x=\tfrac 8 3}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x>\tfrac 5 2}\\{x=2}\end{array}\right.</math>
}}
ognuno dei quali risulta impossibile, cioè <math>\text{I.S.}_1=\emptyset</math> e <math>\text{I.S.}_2=\emptyset </math>.<br />
 
Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è <math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1\cup \text{I.S.}_2=\emptyset \cup \emptyset =\emptyset </math>: l’equazione è impossibile.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione <math>\left|2x-1\right|=x+2</math>.<br />
 
L’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2x-1\ge 0}\\{2x-1=x+2}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{2x-1<0}\\{-2x+1=x+2}\end{array}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}{x\ge \tfrac 1 2}\\{x=3}\end{array}\right.\cup \left\{\begin{array}{l}{x<\tfrac 1 2}\\{x=-\tfrac 1 2}\end{array}\right..</math>
}}
Quindi le soluzioni sono <math>x=3</math> e <math>x=-\tfrac 1 2.</math>
}}
 
== Equazioni con più espressioni in valore assoluto ==
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