Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli

Valore assoluto

Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero $a$, indicato con $|a|$, è lo stesso numero $a$ se esso è maggiore o uguale a zero, o il suo opposto, cioè $-a$, se è minore di zero. In sintesi scriviamo:

$\left|a\right|={\begin{cases}a&{\text{ se }}a\geq 0\\-a&{\text{ se }}a<0\end{cases}}$

Per esempio $\left|+7\right|=7$, $\left|-3\right|=-(-3)=3$, $\left|0\right|=0$, $\left|-1\right|=1$, $\left|1\right|=1$.

In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica $E=x^{2}-3x$, indicato con $\left|x^{2}-3x\right|$, è una funzione definita per casi, cioè definita da espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio,

$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x^{2}-3x\geq 0\\-\left(x^{2}-3x\right)&{\text{ se }}x^{2}-3x<0\end{cases}}.$

Risolvendo la disequazione $x^{2}-3x\geq 0$ si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espressioni algebriche, cioè

$f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x\leq 0\vee x\geq 3\\-x^{2}+3x&{\text{ se }}0<x<3\end{cases}}.$

In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come:

$\left|f(x)\right|={\begin{cases}f(x)&{\text{ se }}f(x)\geq 0\\-f(x)&{\text{ se }}f(x)<0\end{cases}}.$

La funzione $f(x)$ è detta argomento del valore assoluto.

{{Algebra1/Esempio1| Per la funzione $f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|$ trovare le espressioni algebriche che descrivono i due casi.

Per definizione si ha:

$f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|={\begin{cases}{\sqrt {3}}+3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x\geq 0\Rightarrow x\geq -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\sqrt {3}}-3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x<0\Rightarrow x<-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\end{cases}}.$

Esempio:

Data la funzione $f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x+1\right|-2x$ descriverla per casi, eliminando i valori assoluti.

Dobbiamo studiare i segni dei due binomi in valore assoluto

${\begin{array}{l}x^{2}-4\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq -2\vee x\geq 2{\text{ e}}\\x+1\geq 0\quad \Rightarrow \quad x>-1.\end{array}}$

La situazione è rappresentata con maggiore chiarezza nel grafico seguente.

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

• Nell’intervallo $x<-2$ l’argomento del primo valore assoluto è positivo e quello del secondo è negativo;

• nell’intervallo $-2\leq x<-1$ tutti e due gli argomenti del valore assoluto sono negativi;

• nell’intervallo $-1\leq x<2$ l’argomento del primo valore assoluto è negativo, quello del secondo è positivo;

• nell’intervallo $x\geq 2$ entrambi gli argomenti sono positivi.

In sintesi

$f(x)={\begin{cases}(x^{2}-4)-(x+1)-2&{\text{ se }}x<-2\\-(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}-2\leq x<-1\\-(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}-1\leq x<2\\(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}x>2\end{cases}}.$

Equazioni in una incognita in valore assoluto

Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo

• Equazioni con valore assoluto del tipo $\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k\geq 0$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-7\right|=3$.

Per la definizione di valore assoluto si ha che $\left|x^{2}-7\right|={\begin{cases}x^{2}-7&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}\;$, pertanto l’equazione diventa

$\left|x^{2}-7\right|=3\Rightarrow {\begin{cases}x^{2}-7=3&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7=3&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}$

ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{-x^{2}+7=3}\end{array}}\right..$

Moltiplicando per $-1$ ambo i membri dell’equazione del secondo sistema otteniamo:

$\left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{x^{2}-7=-3}\end{array}}\right..$

Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione $x^{2}-7=3$ verifica automaticamente la disequazione $x^{2}-7\geq 0$ in quanto è richiesto che $x^{2}-7$ sia uguale a $3$, pertanto è necessariamente positivo. Stesso ragionamento vale per il secondo sistema. In altre parole, per risolvere la disequazione data è sufficiente risolvere le due equazioni $x^{2}-7=3$ e $x^{2}-7=-3$ unendone le soluzioni. Quindi

${\begin{array}{l}x^{2}-7=3\Rightarrow x^{2}=10\Rightarrow x_{1}=-{\sqrt {10}}\;\vee \;x_{2}={\sqrt {10}}{\text{ e}}\\x^{2}-7=-3\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x_{3}=-2\;\vee \;x_{4}=2.\end{array}}$

L’insieme delle soluzioni è quindi: $\left\{-{\sqrt {10}}{\text{, }}{\sqrt {10}}{\text{, }}-2{\text{, }}+2\right\}$.

Procedura risolutiva  Per risolvere un’equazione del tipo $\left|f(x)\right|=k\,{\text{ con }}k\geq 0$ è sufficiente risolvere la doppia equazione $f(x)=\pm k$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-x\right|=1.$

L’equazione $\left|x^{2}-x\right|=1$ si risolve unendo le soluzioni delle equazioni $x^{2}-x=1$ e $x^{2}-x=-1$. cioè:

${\begin{array}{l}x^{2}-x=1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\;\vee \;x_{2}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\text{ e}}\\x^{2}-x=-1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x+1=0\quad \Rightarrow \quad \Delta <0\quad \Rightarrow \quad {\text{I.S.}}=\emptyset .\end{array}}$

L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi

${\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}.$

• Equazioni con valore assoluto del tipo ${\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k<0}$.

Se $k<0$ l’equazione è impossibile. In questo caso $\left|f(x)\right|=k$ è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x-7\right|=-1$. Impostiamo la ricerca delle soluzioni con il metodo generale presentato in uno degli esempi precedenti. L’equazione corrisponde alla soluzione dell’unione dei due sistemi seguenti

$\left\{{\begin{array}{l}{x-7\geq 0}\\{x-7=-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x-7<0}\\{x-7=1}\end{array}}\right..$

Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.

Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|-1+3x\right|=7x+4.$

L’equazione presenta un valore assoluto al primo membro.

Tenendo conto che

$\left|-1+3x\right|={{\begin{cases}-1+3x&{\text{ se }}-1+3x\geq 0\Rightarrow x\geq {\tfrac {1}{3}}\\1-3x&{\text{ se }}-1+3x<0\Rightarrow x<{\tfrac {1}{3}}\end{cases}}{\text{,}}}$

l’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{-1+3x=7x+4}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{1-3x=7x+4}\end{array}}\right..$

Risolvendo si ha

$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{4x=-5\Rightarrow x=-{\tfrac {5}{4}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{10x=-3\Rightarrow x=-{\tfrac {3}{10}}}\end{array}}\right..$

La soluzione $-{\tfrac {5}{4}}$ non è accettabile in quanto non è maggiore di ${\tfrac {1}{3}}$. Pertanto rimane la soluzione $x=-{\tfrac {3}{10}}$ (che è minore di ${\tfrac {1}{3}}.$)

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|-2x+5\right|=x-3$.

Esplicitiamo i due casi dell’argomento

$\left|-2x+5\right|={\begin{cases}-2x+5&{\text{ se }}-2x+5\geq 0\Rightarrow x\leq {\tfrac {5}{2}}\\2x-5&{\text{ se }}-2x+5<0\Rightarrow x>{\tfrac {5}{2}}\end{cases}}.$

L’equazione si trasforma quindi nell’unione dei due sistemi:

$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-2x+5=x-3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{2x-5=x-3}\end{array}}\right..$

Risolviamo ciascun sistema

$\left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-3x=-8\Rightarrow x={\tfrac {8}{3}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{x=2}\end{array}}\right.$

ognuno dei quali risulta impossibile, cioè ${\text{I.S.}}_{1}=\emptyset$ e ${\text{I.S.}}_{2}=\emptyset$.

Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset \cup \emptyset =\emptyset$: l’equazione è impossibile.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|2x-1\right|=x+2$.

L’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi

$\left\{{\begin{array}{l}{2x-1\geq 0}\\{2x-1=x+2}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{2x-1<0}\\{-2x+1=x+2}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{2}}}\\{x=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{x=-{\tfrac {1}{2}}}\end{array}}\right..$

Quindi le soluzioni sono $x=3$ e $x=-{\tfrac {1}{2}}.$

Equazioni con più espressioni in valore assoluto

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|2x-3\right|-\left|1-2x\right|+x=4$.

L’equazione presenta due espressioni in valore assoluto; ciascuna espressione sarà sviluppata in due modi diversi dipendenti dal segno assunto dai rispettivi argomenti. Si presenteranno allora quattro casi e l’insieme soluzione dell’equazione sarà ottenuto dall’unione delle soluzioni dei singoli casi. Per semplificare il procedimento studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

Si presentano tre casi:

• Caso I: $\left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{-(2x-3)-(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$;
• Caso II: $\left\{{\begin{array}{l}{{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}}\\{-(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$;
• Caso III: $\left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {3}{2}}}\\{(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.$.

In ogni sistema la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. Risolviamo.

Caso I:

$\left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\-(2x-3)-(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\x=2\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$

Il sistema è impossibile in quanto $2$ non è minore di ${\tfrac {1}{2}}$.

Caso II:

$\left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\-(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\x=0\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .$

Il sistema è impossibile in quanto 0 non appartiene all’intervallo $\left[{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}{\tfrac {3}{2}}\right).$

Caso III:

$\left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\x=6\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.$

La soluzione in questo caso è accettabile.

Conclusione: ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.$

Esempio:

Risolvere la seguente equazione $\left|x^{2}-4\right|-3x=\left|x-1\right|$.

Confrontiamo il segno di ciascun argomento servendoci dello schema:

Schema grafico per equazioni in valore assoluto

In questo esempio dobbiamo esaminare 4 casi che si esplicitano nei sistemi:

• Caso I:

$\left\{{\begin{array}{l}{x<-2}\\{x^{2}-4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=1-{\sqrt {6}}\;\vee \;x_{2}=1+{\sqrt {6}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .$

• Caso II:

$\left\{{\begin{array}{l}{-2\leq x<1}\\{-x^{2}+4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=-3\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .$

• Caso III:

$\left\{{\begin{array}{l}{1\leq x<2}\\{-x^{2}+4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=-5\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{1\}.$

• Caso IV:

$\left\{{\begin{array}{l}{x\geq 2}\\{x^{2}-4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=2-{\sqrt {7}}\;\vee \;x_{2}=2+{\sqrt {7}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{4}=\left\{2+{\sqrt {7}}\right\}.$

Conclusione: ${\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}\cup {\text{I.S.}}_{4}=\left\{1{\text{, }}2+{\sqrt {7}}\right\}$.

Procedura: Risoluzione di un’equazione con valori assoluti:

1. l’incognita è presente solo nell’argomento del modulo. L’equazione è del tipo $\left|f(x)\right|=k$ e si risolve studiando $f(x)=\pm k$. Se $k<0$ l’equazione è impossibile;
2. l’incognita si trova anche al di fuori del modulo. Si analizza il segno dell’argomento del modulo e si risolvono i due sistemi dove la prima condizione è la disequazione che vincola il segno dell’argomento e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. L’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei due sistemi;
3. è presente più di un modulo che ha l’incognita nel proprio argomento. Si studia il segno di ogni argomento e dallo schema che ne segue si costruiscono e quindi si risolvono i sistemi in cui la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione in base al segno definito. Anche in questo caso l’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei vari sistemi.