Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali: differenze tra le versioni

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=== Equazioni irrazionali con la radice di indice pari ===
=== Equazioni irrazionali con la radice di indice pari ===

Ricordiamo che l’espressione irrazionale <math>E=\sqrt[n]{f(x)}</math> con <math>n</math> pari maggiore di <math>1</math> ha significato per tutti i valori di <math>x</math> che rendono non negativo il radicando, pertanto l’insieme soluzione di un’equazione irrazionale in cui compaiono uno o più radicali di indice pari sarà un sottoinsieme del dominio o insieme di definizione del radicale (condizione di realtà del radicale).

Per esempio, nell’equazione <math>\sqrt{2x}=x^2-x</math> si ha che il dominio <math>\mathcal{D}</math> del radicale è dato da <math>x\ge 0</math>, cioè <math>\mathcal{D}=\mathbb{R}^{+}\cup \{0\}</math>. Pertanto l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme di tale dominio, cioè <math>\text{I.S.}\subseteq \mathcal{D}</math>. Nessun numero negativo potrà essere soluzione dell’equazione, altrimenti il radicale non sarebbe un numero reale. Inoltre, poiché l’espressione irrazionale <math>\sqrt[n]{f(x)}</math> nel suo <math>\text{I.D.}</math> è positiva o nulla (per definizione), l’equazione <math>\sqrt{2x}=x^2-x</math> potrà verificarsi solo se il secondo membro sarà non negativo (condizione di concordanza del segno).

Quando abbiamo un’equazione nella quale l’incognita compare sotto una radice di indice <math>n</math> pari possiamo elevare alla potenza <math>n</math> entrambi i membri dell’equazione eliminando la radice. Tuttavia, l’equazione ottenuta non sempre è equivalente a quella data, ossia non sempre ha le stesse soluzioni dell’equazione data (in genere ne ha di più).

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere la seguente equazione irrazionale <math> \sqrt{x+2}=x.</math><br />

Elevando al quadrato si ha <math>x+2=x^2</math> da cui <math>x^2-x-2=0</math>. Risolvendo questa equazione di secondo grado otteniamo le soluzioni <math>x_1=-1</math> e <math>x_2=2</math>. Tuttavia, sostituendo questi valori di <math>x</math> nell’equazione irrazionale di partenza si ha:

* per <math>x=-1 \Rightarrow \sqrt{-1+2}=-1 \Rightarrow \sqrt 1=-1</math> che è falsa, pertanto <math>x=-1</math> non può essere soluzione;
* per <math>x=2 \Rightarrow \sqrt{2+2}=2 \Rightarrow \sqrt 4=2</math> che è vera, pertanto <math>x=2</math> è l’unica soluzione.

Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è <math>\text{I.S.}=\{2\}</math>.
}}

'''Conclusione'''&emsp;Per risolvere un’equazione irrazionale con indice pari possiamo allora elevare alla potenza pari della radice i due membri dell’equazione, risolvere l’equazione che si ottiene e verificare se le soluzioni trovate sono accettabili.

Possiamo però procedere in un altro modo: l’insieme soluzione dell’equazione irrazionale <math>\sqrt[n]{f(x)}=g(x)</math> con <math>n</math> pari non nullo sarà un sottoinsieme dell’insieme in cui sono contemporaneamente vere le condizioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{f(x)\ge 0}\\{g(x)\ge 0}\end{array}\right..</math>
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere le seguenti equazioni irrazionali con radice di indice pari.<br />

<ul>
<li><p><math>\sqrt{x+2}=x</math>.</p>
<p>La soluzione si ottiene risolvendo
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x+2\ge 0 \\x\ge 0\\x+2=x^2 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\x+2=x^2 \end{array}\right..</math></p>
<p>Le soluzioni dell’equazione <math>x^2-x-2=0</math> sono <math>x_1=-1\vee x_2=2</math>, ma
}}
l’unica accettabile è <math>x=2</math> (per la condizione <math>x\ge 0.</math>)
</p></li>
<li><p><math>\sqrt{5-2x}=x-1</math>.</p>
<p>Elevo ambo i membri al quadrato, ottengo <math>5-2x=x^2-2x+1 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x_{1\text{,}2}=\pm 2</math>, sostituisco <math>x=-2</math> ottengo <math>\sqrt{5-2\cdot (-2)}=-2-1 \Rightarrow \sqrt 9=-3</math> falso, quindi <math>x=-2</math> non è accettabile; sostituisco <math>x=+2</math> ottengo <math>\sqrt{5-2\cdot 2}=2-1 \Rightarrow \sqrt 1=1</math> vero, quindi <math>x=+2</math> è l’unica soluzione dell’equazione data.</p>
<p>Arrivo allo stesso risultato ponendo le condizioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}5-2x\ge 0 \\x\ge 1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\le \tfrac 5 2\\x\ge 1\end{array}\right.</math>
}}
che indica l’intervallo <math>1\le x\le \tfrac 5 2</math>. La soluzione <math>x=-2</math> non è accettabile in quando non è compresa tra <math>1</math> e <math>\tfrac 5 2</math>, mentre la soluzione <math>x=+2</math> è invece accettabile.</p></li>
<li><p><math>\sqrt{2x}=x^2-x</math>.</p>
<p>Determiniamo l’insieme in cui cercare le soluzioni dell’equazione
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2x\ge 0}\\{x^2-x\ge 0}\end{array}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}{2x\ge 0}\\{x(x-1)\ge 0}\end{array}\right.</math>
}}
con soluzione <math>x=0\vee x\ge 1</math>. Rendiamo razionale l’equazione elevando ambo i membri al quadrato:
{{Testo centrato|
<math>\left(\sqrt{2x}\right)^2=\left(x^2-x\right)^2\quad\Rightarrow\quad 2x=x^4-2x^3+x^2.</math> Risolviamo l’equazione ottenuta: <math>x^4-2x^3+x^2-2x=0\quad\Rightarrow\quad x\cdot \left(x^2+1\right)\cdot (x-2)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\;\vee\; x=2.</math>
}}</p>
<p>Confrontiamo le soluzioni ottenute con le condizioni <math>x=0\;\vee\; x\ge 1</math>. Poiché entrambe le soluzioni verificano queste condizioni si ha che <math>\text{I.S.}=\{0\text{, }2\}</math>.</p></li></ul>
}}

=== Equazioni irrazionali con la radice di indice dispari ===

Versione delle 18:16, 22 lug 2016

Indice del libro


Equazioni irrazionali con un solo radicale

Definizione: Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice.


Analizziamo le seguenti equazioni: e . Notiamo che l’equazione è di secondo grado, intera con un coefficiente irrazionale (sotto il segno di radice), ma non è un’equazione irrazionale perché l’incognita non compare sotto la radice. Nell’equazione , invece, il monomio (contenente l’incognita) compare sotto il segno di radice, pertanto essa è un’equazione irrazionale.

Problema:  Determinare l’area di un triangolo rettangolo , retto in , avente perimetro di e i cateti che differiscono di .

Triangolo rettangolo
Triangolo rettangolo

Dati

Obiettivo: Area.

Soluzione ; dobbiamo quindi determinare i cateti. Poniamo con quindi e sfruttiamo l’informazione relativa al perimetro per determinare l’equazione risolvente

Applicando il teorema di Pitagora si ricava e dunque otteniamo l’equazione risolvente in cui l’incognita compare sotto il segno di radice. Vedremo nel seguito come risolvere un’equazione di questo tipo.


Equazioni irrazionali con la radice di indice pari

Ricordiamo che l’espressione irrazionale con pari maggiore di ha significato per tutti i valori di che rendono non negativo il radicando, pertanto l’insieme soluzione di un’equazione irrazionale in cui compaiono uno o più radicali di indice pari sarà un sottoinsieme del dominio o insieme di definizione del radicale (condizione di realtà del radicale).

Per esempio, nell’equazione si ha che il dominio del radicale è dato da , cioè . Pertanto l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme di tale dominio, cioè . Nessun numero negativo potrà essere soluzione dell’equazione, altrimenti il radicale non sarebbe un numero reale. Inoltre, poiché l’espressione irrazionale nel suo è positiva o nulla (per definizione), l’equazione potrà verificarsi solo se il secondo membro sarà non negativo (condizione di concordanza del segno).

Quando abbiamo un’equazione nella quale l’incognita compare sotto una radice di indice pari possiamo elevare alla potenza entrambi i membri dell’equazione eliminando la radice. Tuttavia, l’equazione ottenuta non sempre è equivalente a quella data, ossia non sempre ha le stesse soluzioni dell’equazione data (in genere ne ha di più).

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale 

Elevando al quadrato si ha da cui . Risolvendo questa equazione di secondo grado otteniamo le soluzioni e . Tuttavia, sostituendo questi valori di nell’equazione irrazionale di partenza si ha:

  • per che è falsa, pertanto non può essere soluzione;
  • per che è vera, pertanto è l’unica soluzione.

Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è .

Conclusione Per risolvere un’equazione irrazionale con indice pari possiamo allora elevare alla potenza pari della radice i due membri dell’equazione, risolvere l’equazione che si ottiene e verificare se le soluzioni trovate sono accettabili.

Possiamo però procedere in un altro modo: l’insieme soluzione dell’equazione irrazionale con pari non nullo sarà un sottoinsieme dell’insieme in cui sono contemporaneamente vere le condizioni

Esempio:

Risolvere le seguenti equazioni irrazionali con radice di indice pari.
  • .

    La soluzione si ottiene risolvendo

    Le soluzioni dell’equazione sono , ma

    l’unica accettabile è (per la condizione )

  • .

    Elevo ambo i membri al quadrato, ottengo , sostituisco ottengo falso, quindi non è accettabile; sostituisco ottengo vero, quindi è l’unica soluzione dell’equazione data.

    Arrivo allo stesso risultato ponendo le condizioni

    che indica l’intervallo . La soluzione non è accettabile in quando non è compresa tra e , mentre la soluzione è invece accettabile.

  • .

    Determiniamo l’insieme in cui cercare le soluzioni dell’equazione

    con soluzione . Rendiamo razionale l’equazione elevando ambo i membri al quadrato:

    Risolviamo l’equazione ottenuta:

    Confrontiamo le soluzioni ottenute con le condizioni . Poiché entrambe le soluzioni verificano queste condizioni si ha che .

Equazioni irrazionali con la radice di indice dispari