Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali

Equazioni irrazionali con un solo radicale

Definizione: Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice.

Analizziamo le seguenti equazioni: ${\sqrt {3}}\cdot x=x^{2}-x+2$ e ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$. Notiamo che l’equazione ${\sqrt {3}}\cdot x=x^{2}-x+2$ è di secondo grado, intera con un coefficiente irrazionale (sotto il segno di radice), ma non è un’equazione irrazionale perché l’incognita non compare sotto la radice. Nell’equazione ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$, invece, il monomio $2x$ (contenente l’incognita) compare sotto il segno di radice, pertanto essa è un’equazione irrazionale.

Problema:  Determinare l’area di un triangolo rettangolo $ABC$, retto in $A$, avente perimetro di $24{\text{cm}}$ e i cateti che differiscono di $2{\text{cm}}$.

Triangolo rettangolo

Dati:  $2p=24$;  ${\overline {AB}}-{\overline {AC}}=2.$

Obiettivo: Area.

Soluzione ${{\text{Area}}\;}={\tfrac {{\overline {AB}}\cdot {\overline {AC}}}{2}}$; dobbiamo quindi determinare i cateti. Poniamo ${\overline {AC}}=x$ con $x>0$ quindi ${\overline {AB}}=2+x$ e sfruttiamo l’informazione relativa al perimetro per determinare l’equazione risolvente ${\overline {AB}}+{\overline {AC}}+{\overline {BC}}=24.$

Applicando il teorema di Pitagora si ricava ${\overline {BC}}={\sqrt {x^{2}+(2+x)^{2}}}={\sqrt {2x^{2}+4x+4}}$ e dunque otteniamo l’equazione risolvente $2x+2+{\sqrt {2x^{2}+4x+4}}=24$ in cui l’incognita compare sotto il segno di radice. Vedremo nel seguito come risolvere un’equazione di questo tipo.

Equazioni irrazionali con la radice di indice pari

Ricordiamo che l’espressione irrazionale $E={\sqrt[{n}]{f(x)}}$ con $n$ pari maggiore di $1$ ha significato per tutti i valori di $x$ che rendono non negativo il radicando, pertanto l’insieme soluzione di un’equazione irrazionale in cui compaiono uno o più radicali di indice pari sarà un sottoinsieme del dominio o insieme di definizione del radicale (condizione di realtà del radicale).

Per esempio, nell’equazione ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$ si ha che il dominio ${\mathcal {D}}$ del radicale è dato da $x\geq 0$, cioè ${\mathcal {D}}=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$. Pertanto l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme di tale dominio, cioè ${\text{I.S.}}\subseteq {\mathcal {D}}$. Nessun numero negativo potrà essere soluzione dell’equazione, altrimenti il radicale non sarebbe un numero reale. Inoltre, poiché l’espressione irrazionale ${\sqrt[{n}]{f(x)}}$ nel suo ${\text{I.D.}}$ è positiva o nulla (per definizione), l’equazione ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$ potrà verificarsi solo se il secondo membro sarà non negativo (condizione di concordanza del segno).

Quando abbiamo un’equazione nella quale l’incognita compare sotto una radice di indice $n$ pari possiamo elevare alla potenza $n$ entrambi i membri dell’equazione eliminando la radice. Tuttavia, l’equazione ottenuta non sempre è equivalente a quella data, ossia non sempre ha le stesse soluzioni dell’equazione data (in genere ne ha di più).

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale ${\sqrt {x+2}}=x.$

Elevando al quadrato si ha $x+2=x^{2}$ da cui $x^{2}-x-2=0$. Risolvendo questa equazione di secondo grado otteniamo le soluzioni $x_{1}=-1$ e $x_{2}=2$. Tuttavia, sostituendo questi valori di $x$ nell’equazione irrazionale di partenza si ha:

• per $x=-1\Rightarrow {\sqrt {-1+2}}=-1\Rightarrow {\sqrt {1}}=-1$ che è falsa, pertanto $x=-1$ non può essere soluzione;
• per $x=2\Rightarrow {\sqrt {2+2}}=2\Rightarrow {\sqrt {4}}=2$ che è vera, pertanto $x=2$ è l’unica soluzione.

Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è ${\text{I.S.}}=\{2\}$.

Conclusione Per risolvere un’equazione irrazionale con indice pari possiamo allora elevare alla potenza pari della radice i due membri dell’equazione, risolvere l’equazione che si ottiene e verificare se le soluzioni trovate sono accettabili.

Possiamo però procedere in un altro modo: l’insieme soluzione dell’equazione irrazionale ${\sqrt[{n}]{f(x)}}=g(x)$ con $n$ pari non nullo sarà un sottoinsieme dell’insieme in cui sono contemporaneamente vere le condizioni

$\left\{{\begin{array}{l}{f(x)\geq 0}\\{g(x)\geq 0}\end{array}}\right..$

Esempio:

Risolvere le seguenti equazioni irrazionali con radice di indice pari.

• ${\sqrt {x+2}}=x$.

  La soluzione si ottiene risolvendo

  $\left\{{\begin{array}{l}x+2\geq 0\\x\geq 0\\x+2=x^{2}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq 0\\x+2=x^{2}\end{array}}\right..$

  Le soluzioni dell’equazione $x^{2}-x-2=0$ sono $x_{1}=-1\vee x_{2}=2$, ma

  l’unica accettabile è $x=2$ (per la condizione $x\geq 0.$)

• ${\sqrt {5-2x}}=x-1$.

  Elevo ambo i membri al quadrato, ottengo $5-2x=x^{2}-2x+1\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x_{1{\text{,}}2}=\pm 2$, sostituisco $x=-2$ ottengo ${\sqrt {5-2\cdot (-2)}}=-2-1\Rightarrow {\sqrt {9}}=-3$ falso, quindi $x=-2$ non è accettabile; sostituisco $x=+2$ ottengo ${\sqrt {5-2\cdot 2}}=2-1\Rightarrow {\sqrt {1}}=1$ vero, quindi $x=+2$ è l’unica soluzione dell’equazione data.

  Arrivo allo stesso risultato ponendo le condizioni

  $\left\{{\begin{array}{l}5-2x\geq 0\\x\geq 1\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\leq {\tfrac {5}{2}}\\x\geq 1\end{array}}\right.$

  che indica l’intervallo $1\leq x\leq {\tfrac {5}{2}}$. La soluzione $x=-2$ non è accettabile in quando non è compresa tra $1$ e ${\tfrac {5}{2}}$, mentre la soluzione $x=+2$ è invece accettabile.

• ${\sqrt {2x}}=x^{2}-x$.

  Determiniamo l’insieme in cui cercare le soluzioni dell’equazione

  $\left\{{\begin{array}{l}{2x\geq 0}\\{x^{2}-x\geq 0}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{2x\geq 0}\\{x(x-1)\geq 0}\end{array}}\right.$

  con soluzione $x=0\vee x\geq 1$. Rendiamo razionale l’equazione elevando ambo i membri al quadrato:

  $\left({\sqrt {2x}}\right)^{2}=\left(x^{2}-x\right)^{2}\quad \Rightarrow \quad 2x=x^{4}-2x^{3}+x^{2}.$ Risolviamo l’equazione ottenuta: $x^{4}-2x^{3}+x^{2}-2x=0\quad \Rightarrow \quad x\cdot \left(x^{2}+1\right)\cdot (x-2)=0\quad \Rightarrow \quad x=0\;\vee \;x=2.$

  Confrontiamo le soluzioni ottenute con le condizioni $x=0\;\vee \;x\geq 1$. Poiché entrambe le soluzioni verificano queste condizioni si ha che ${\text{I.S.}}=\{0{\text{, }}2\}$.

Equazioni irrazionali con la radice di indice dispari

L’espressione irrazionale $E={\sqrt[{n}]{f(x)}}$ con $n$ dispari è definita per tutti i valori reali per cui è definito il radicando, quindi l’equazione irrazionale ${\sqrt[{n}]{f(x)}}=g(x)$ è equivalente a quella che si ottiene elevando ad $n$ entrambi i membri dell’equazione: $f(x)=g^{n}(x)$.

Esempio:

Risolvere le seguenti equazioni irrazionali con radice di indice dispari.

• ${\sqrt[{3}]{x-2}}={\tfrac {1}{2}}$.

  Elevando al cubo si ha $x-2={\tfrac {1}{8}}\ \Rightarrow \ x=2+{\tfrac {1}{8}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {17}{8}}$.

• ${\sqrt[{3}]{-3x^{2}+3x+1}}=x$.

  Elevando al cubo si ha $-3x^{2}+3x+1=x^{3}\Rightarrow (x-1)^{3}=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$.

• ${\sqrt[{3}]{\tfrac {x}{2x+3}}}={\tfrac {2-5x}{4}}$.

  Il dominio del radicando è l’insieme ${\mathcal {D}}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\neq -{\tfrac {3}{2}}\right\}$. Per risolvere l’equazione elevo primo e secondo membro al cubo, ottenendo l’equazione ${\tfrac {x}{2x+3}}=\left({\tfrac {2-5x}{4}}\right)^{3}$, la cui risoluzione richiede la risoluzione di un’equazione di quarto grado che non svolgiamo.

• ${\sqrt[{3}]{\tfrac {1}{x}}}={\tfrac {4x+x^{2}}{3-x}}$.

  Le condizioni di esistenza sono: $x\neq 0\;\wedge \;x\neq 3$. Elevando al cubo si ottiene l’equazione risolvente che non svolgeremo.

Equazioni con più radicali

Non potendo stabilire una forma canonica, procederemo mediante esempi al fine di acquisire un metodo risolutivo a seconda dei casi che si possono presentare.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale ${\sqrt {2-{\tfrac {1}{x}}}}={\sqrt {x}}.$

Osserviamo subito che i due membri, nell’insieme in cui entrambi hanno significato, sono positivi. Determiniamo quindi l’insieme in cui cercare le soluzioni:

$\left\{{\begin{array}{l}{2-{\tfrac {1}{x}}\geq 0}\\{x\geq 0}\end{array}}\right..$

Risolvendo le due disequazioni otteniamo

$\left\{{\begin{array}{l}x<0\vee x\geq {\tfrac {1}{2}}\\{x\geq 0}\end{array}}\right.\Rightarrow x\geq {\tfrac {1}{2}}.$

Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell’equazione e otteniamo $2-{\tfrac {1}{x}}=x$, da cui si ha $x_{1}=x_{2}=1$ che è accettabile in quanto maggiore di ${\tfrac {1}{2}}$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale ${\sqrt {x+3}}-{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6x}}=0.$

Separiamo i due radicali ${\sqrt {x+3}}={\sqrt[{3}]{2x^{2}+6x}}.$

Affinché i due membri dell’equazione siano positivi dobbiamo porre la condizione di positività anche al radicando del radicale cubico:

$\left\{{\begin{array}{l}{x+3\geq 0}\\{2x^{2}+6x\geq 0}\end{array}}\right.\Rightarrow x=-3\;\vee \;x\geq 0.$

Per risolvere l’equazione occorre avere radici con lo stesso indice. Il minimo comune indice è $6$, perciò si ha ${\sqrt[{6}]{(x+3)^{3}}}={\sqrt[{6}]{\left(2x^{2}+6x\right)^{2}}}$. Ed elevando alla sesta potenza si ottiene

$(x+3)^{3}=\left(2x^{2}+6x\right)^{2}\Rightarrow (x+3)^{3}-\left(2x^{2}+6x\right)^{2}=0\Rightarrow (x+3)^{3}-[2x(x+3)]^{2}=0.$

Raccogliendo a fattore comune si ha: $(x+3)^{2}\cdot \left(x+3-4x^{2}\right)=0.$

Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo

${\begin{array}{l}(x+3)^{2}=0\Rightarrow x+3=0\Rightarrow x=-3{\text{ e}}\\-4x^{2}+x+3=0\Rightarrow x_{1}=-{\tfrac {3}{4}}\;\vee \;x_{2}=1.\end{array}}$

Le soluzioni che verificano le condizioni $x=-3\;\vee \;x\geq 0$ sono $x_{1}=-3$ e $x_{2}=1$.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale ${\sqrt {x}}+{\sqrt {x^{3}+2x-1}}=0.$

Separiamo i due radicali ${\sqrt {x}}=-{\sqrt {x^{3}+2x-1}}$; osserviamo che i due membri nell’insieme in cui sono definiti sono di segno opposto e dunque l’uguaglianza sarà vera solo nel caso in cui entrambi si annullino.

Il primo membro si annulla solo per $x=0$ che non annulla il secondo membro, pertanto l’equazione non ha soluzioni.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale $-{\sqrt {x^{2}+3x}}+{\sqrt {2x+2}}=0.$

Portiamo la radice con il segno meno a secondo membro, in modo da avere due radici positive: ${\sqrt {2x+2}}={\sqrt {x^{2}+3x}}$. Poniamo le condizione sull’accettabilità della soluzione:

$\left\{{\begin{array}{l}{2x+2\geq 0}\\{x^{2}+3x\geq 0}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x\geq -1}\\{x\leq -3\vee x\geq 0}\end{array}}\right.\Rightarrow x\geq 0.$

Eleviamo al quadrato i due membri dell’equazione

$2x+2=x^{2}+3x\Rightarrow x^{2}+x-2=0.$

Le soluzioni sono $x_{1}=-2$ e $x_{2}=1.$ Di queste solo $x=1$ soddisfa le condizioni di accettabilità.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale ${\sqrt {x+7}}-{\sqrt {x-1}}=2.$

In questo esempio ci sono altri termini oltre i due radicali.

Spostiamo dopo l’uguale il radicale negativo in modo che sia a destra sia a sinistra i termini siano positivi: ${\sqrt {x+7}}={\sqrt {x-1}}+2$.

Poniamo le condizioni sull’accettabilità delle soluzioni:

$\left\{{\begin{array}{l}{x+7\geq 0}\\{x-1\geq 0}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x\geq -7}\\{x\geq 1}\end{array}}\right.\Rightarrow x\geq 1.$

Elevando l’equazione al quadrato si ha:

$x+7=4+4{\sqrt {x-1}}+x-1\Rightarrow 4{\sqrt {x-1}}=4\Rightarrow {\sqrt {x-1}}=1.$

Eleviamo nuovamente al quadrato ${\sqrt {x-1}}=1$ ottenendo $x-1=1\Rightarrow x=2$, che è accettabile.

Esempio:

Risolvere la seguente equazione irrazionale ${\sqrt {x^{2}+1}}-{\sqrt {1-4x}}=x.$

Per prima cosa porto al secondo membro il radicale che ha il segno negativo, in modo che diventi positivo ${\sqrt {x^{2}+1}}={\sqrt {1-4x}}+x.$

In questo caso risulta problematico risolvere il sistema con tutte le condizioni di accettabilità, perché bisognerebbe risolvere anche la disequazione irrazionale ${\sqrt {1-4x}}+x\geq 0$. Ci limiteremo allora a risolvere l’equazione e poi verificarne le soluzioni.

Elevo al quadrato ambo i membri dell’equazione: $x^{2}+1=1-4x+x^{2}+2x{\sqrt {1-4x}}.$

Semplificando si ha $x(2-{\sqrt {1-4x}})=0$. Una soluzione è $x=0$, la seconda soluzione si ottiene da $2-{\sqrt {1-4x}}=0\Rightarrow 2={\sqrt {1-4x}}$. Elevando al quadrato si ha $4=1-4x\Rightarrow x=-{\tfrac {3}{4}}$.

Verifichiamo ora le soluzioni. Per $x=0$ si ha ${\sqrt {(0)^{2}+1}}={\sqrt {1-4\cdot (0)}}+0\Rightarrow 1=1$ soluzione accettabile. Per $x=-{\tfrac {3}{4}}$ si ha ${\sqrt {\left(-{\tfrac {3}{4}}\right)^{2}+1}}={\sqrt {1-4\cdot \left(-{\tfrac {3}{4}}\right)}}-{\tfrac {3}{4}}\Rightarrow {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {5}{4}}$ e anche questa è una soluzione accettabile.