Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

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m
corretta unicità
(migliorato il testo su teorema di unicità)
m (corretta unicità)
In genere in elettrostatica si determina la soluzione dell'equazione di Laplace in una regione in cui non siano presenti cariche e di conseguenza si trova la soluzione dell'equazione di Poisson.
=== Unicità della soluzione dell'equazione di Poisson===
Il teorema di unicità per l'equazione di Poisson afferma che se si conoscono i valori di <math>V(\vec r)</math> sul [[w:Frontiera_(topologia)|contorno di una certa regione]], la soluzione dell'equazione di Poisson esiste ed è unica. Di conseguenza anche il campo elettrico è univocamente determinato.
 
Immaginiamo di avere una regione di spazio in cui la densità di carica è nota e continua ed è delimitata dalla superficie di contorno <math>S</math> al volume <math>T\ </math> in cui il potenziale vale <math>f_S</math>. Il teorema afferma che esiste una unica soluzione.
La dimostrazione si fa per assurdo immaginando che vi siano invece due soluzioni diverse: <math>f_1</math> e <math>f_2</math> che entrambe assumono il valore <math>f_S</math> sulla superficie.
:<math>{\nabla}^2 f_1 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_1=f_S \ su\ S</math>
:<math>{\nabla}^2 f_2 = - {\rho \over \varepsilon_0}\qquad f_2=f_S \ su\ S</math>
Se definisco:
:<math>f=f_2-f_1</math>
:<math>{\nabla}^2 f={\nabla}^2 (f_2-f_1)=0 \qquad f=0 \ su\ S</math>
Quindi la funzione <math>f</math> soddisfa l'equazione di Laplace, ma dobbiamo dimostrare che è anche identicamente nulla.
Per il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] possiamo trasformare l'integrale di volume della quantità nel flusso attraverso la superficie di contorno <math>S\ </math>, dove la funzione <math>f\equiv 0\ </math>:
Infatti se consideriamo l'integrale della quantità e lo sviluppiamo:
:<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau=\int_Sf\vec \nabla f\cdot \vec {dS}=0\ </math>
Ma il primo termine può anche svilupparsi:
:<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{T}f{\nabla}^2 fd\tau+\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau</math>
il primo termine dello sviluppo è nullo in quanto <math>{\nabla}^2 f=0</math> (per l'equazione di Laplace).
Quindi si ha che in tutto il dominio.
L'espressione, prima di essere sviluppta è anche eguale per il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] a
:<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot (f\vec \nabla f)d\tau=\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau=\int_Sf\vec \nabla f\cdot \vec {dS}</math>
Ma l'integrale di superficie è nullo in quanto <math>f=0 \ </math> su <math>S\ </math>.
Quindi in definitiva si ha che:
:<math>\int_{T}(\vec \nabla f)^2d\tau=0</math>
La funzione integranda è continua (come la densità di carica), non è mai negativa (essendo un quadrato) e quindi perché l'integrale nella regione
<math>T\ </math> sia nullo occorre che anche <math>\vec \nabla f =0</math> in tutto il <math>T </math> che ha come contorno la regione <math>S </math>, quindi che la funzione <math>f </math> debba essere una costante nel volume, ma essendoecontemporaneamente nulla sul contorno deve essere nulla da per tutto. Quindi le due funzioni <math>f_1</math> e <math>f_2</math> sono identiche (a meno di una costante, ma il potenziale è definito a meno di una costante: quindi come si voleva dimostrare la soluzione è unica).
 
==Bibliografia==

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