Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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21. Una trasformazione irreversibile

Una mole di gas ideale monoatomico inizialmente alla temperatura $T_{0}\$ è contenuta in un cilindro di volume $V_{0}\$ e subisce una compressione adiabatica reversibile da portarlo a un volume finale $V_{f}=V_{0}/3\$ e a una temperatura finale $T_{f}\$ . In queste condizioni, il gas è posto a contatto con una sorgente alla temperatura $T_{0}\$ alla quale si riporta mantenendo costante il volume del gas $V_{f}\$ . Si calcoli:

a) La temperatura $T_{f}\$ del gas e il lavoro da esso subito durante la compressione adiabatica reversibile;

b) La variazione totale di energia interna del gas;

c) La variazione di entropia dell’universo termodinamico.

(Dati del problema: $T_{0}=300\ K\$ )

→ Vai alla soluzione

Soluzioni

21. Una trasformazione irreversibile

→ Vai alla traccia

a)

La temperatura alla quale si porta il gas al termine della compressione adiabatica si ricava da:

T_{0}V_{0}^{\gamma -1}=T_{f}V_{f}^{\gamma -1}\

con $\gamma -1=0.66\$ essendo il gas monoatomico. Quindi:

T_{f}=T_{0}\left({\frac {V_{0}}{V_{f}}}\right)^{\gamma -1}=624.5\ K\

Il lavoro eseguito sul gas per comprimerlo è:

W_{AB}=-nc_{v}(T_{f}-T_{0})=-n{\frac {3}{2}}R(T_{f}-T_{0})=-4\ kJ\

b)

La variazione totale di energia interna del gas è nulla ritornando il gas alla stessa temperatura di partenza.

c)

Per il calcolo della variazione di entropia dell’universo termodinamico, bisogna tenere in conto quella relativa al gas e quella relativa alla sorgente di calore alla temperatura $T_{0}\$ . Per la prima, durante la isocora, si ha:

\Delta S_{gas}=nc_{v}\log {\frac {T_{0}}{T_{f}}}=-9.13\ J/K\

Mentre nella sorgente durante la trasformazione BC entra una quantità di calore pari a:

Q_{BC}=nc_{v}(T_{f}-T_{0})=4\ kJ\

Quindi:

\Delta S_{sorgente}={\frac {Q_{BC}}{T_{0}}}=13.5\ J/K\

La variazione di entropia dell'universo termodinamico è:

\Delta S_{U}=\Delta S_{gas}+\Delta S_{sorgente}=4.34\ J/K\

@@ Riga 2: / Riga 2: @@
-===22. Disco che lancia===
+===21. Una trasformazione irreversibile===
-[[Immagine:Discochelancia.png|400px|right]]
-Una piattaforma (un disco) non vincolata di massa <math>m_p\ </math> e raggio <math>R\ </math> è in quiete su di un piano orizzontale liscio quando da un suo bordo un sistema meccanico spara un proiettile (un punto materiale) di massa <math>m_0\ </math> con velocità <math>v_0\ </math> diretta tangenzialmente al bordo della piattaforma (si veda la figura) parallelamente all'asse delle x.
+Una mole di gas ideale monoatomico inizialmente alla temperatura <math>T_0\ </math> è contenuta in un cilindro di volume <math>V_0\ </math> e subisce una compressione adiabatica reversibile da portarlo a un volume finale <math>V_f=V_0/3\ </math> e a una temperatura finale <math>T_f\ </math>. In queste condizioni, il gas è posto a contatto con una sorgente alla temperatura <math>T_0\ </math> alla quale si riporta mantenendo costante il volume del gas <math>V_f\ </math>.
+Si calcoli:
+a)	La temperatura <math>T_f\ </math> del gas e il lavoro da esso subito durante la compressione adiabatica reversibile;
+b)	La variazione totale di energia interna del gas;
+c)	La variazione di entropia dell’universo termodinamico.
+(Dati del problema: <math>T_0=300\ K\ </math>)
-<span class="noprint">[[#22. Disco che lancia_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
+<span class="noprint">[[#21. Una trasformazione irreversibile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 == Soluzioni ==
+===21. Una trasformazione irreversibile===
+<span class="noprint">[[#21. Una trasformazione irreversibile|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
+a)
+La temperatura alla quale si porta il gas al termine della compressione adiabatica si ricava da:
+:<math>T_0V_0^{\gamma-1}=T_fV_f^{\gamma-1}\ </math>
+con <math>\gamma-1=0.66\ </math> essendo il gas monoatomico. Quindi:
+:<math>T_f=T_0\left(\frac {V_0}{V_f}\right)^{\gamma -1}=624.5\ K\ </math>
+Il lavoro eseguito sul gas per comprimerlo è:
+:<math>W_{AB}=-nc_v(T_f-T_0)=-n\frac 32R(T_f-T_0)=-4\ kJ\ </math>
+b)
-===22. Disco che lancia===
-<span class="noprint">[[#22. Disco che lancia|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
+La variazione totale di energia interna del gas è nulla ritornando il gas alla stessa temperatura di partenza.
-a)
+c)
-Una volta effettuato il lancio del punto materiale di massa <math>m_0\ </math>, assumendo come zero dell’asse delle ordinate il centro della piattaforma circolare, la coordinata del centro di massa del sistema vale
-:<math>x_{CM}=0\qquad y_{CM}=\frac {m_1R}{m_p+m_1}=1\ m\ </math>
-la distanza del lanciatore dal centro di massa:
-:<math>d_1=R-y_{CM}=4\ m\ </math>
-La piattaforma ha un momento di inerzia rispetto all'asse libero di rotazione:
-:<math>I_p=\frac 12m_pR^2+m_py_{CM}^2=270\ kgm^2\ </math>
-Quindi il sistema ha un momento di inerzia:
-:<math>I_{CM}=I_p+m_1d_1^2=350\ kgm^2\ </math>
+Per il calcolo della variazione di entropia dell’universo termodinamico, bisogna tenere in conto quella relativa al gas e quella relativa alla sorgente di calore alla temperatura <math>T_0\ </math>. Per la prima, durante la isocora, si ha:
-b)
+:<math>\Delta S_{gas}=nc_v\log \frac {T_0}{T_f}=-9.13\ J/K\ </math>
+Mentre nella sorgente durante la trasformazione BC entra una quantità di calore pari a:
+:<math>Q_{BC}=nc_v(T_f-T_0)=4\ kJ\ </math>
+Quindi:
+:<math>\Delta S_{sorgente}=\frac {Q_{BC}}{T_0}=13.5\ J/K\ </math>
+La variazione di entropia dell'universo termodinamico è:
+:<math>\Delta S_U=\Delta S_{gas}+\Delta S_{sorgente}=4.34\ J/K\ </math>