Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni
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Il numero razionale '''22/7''' ampiamente usato si approssima a '''[[w:pi greco|π]]''' meglio del più usato 3,14. Esso è una ridotta della espansione in [[w:frazione continua|frazione continua]] di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da [[w:Archimede|Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni: |
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:<math>\frac{22}{7} \approx 3{,}142857\dots\,</math> |
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Versione attuale delle 15:38, 13 feb 2017
Il numero razionale 22/7 ampiamente usato si approssima a π meglio del più usato 3,14. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi matematica.
L'idea[modifica]
quindi
I dettagli[modifica]
Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.
Apparizione nella Putnam Competition[modifica]
La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.
Collegamenti esterni[modifica]