Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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7. Sbarra sospesa

Una sbarretta di massa $M\$ è sospesa agli estremi da due molle eguali di costante elastica $k\$ che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza $\ell \$ . Un piccolo oggetto di massa $m\$ cade dall'alto da altezza $h\$ e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa $m\$ ; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.

(dati del problema $M=4\ kg\$ , $k=2000\ N/m\$ , $\ell =20\ cm\$ , $m=300\ g\$ , $h=50\ cm\$ )

→ Vai alla soluzione

Soluzioni

7. Sbarra sospesa

→ Vai alla traccia

a)

Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:

2k(\ell -\ell _{o})-Mg=0\

segue che:

\ell _{o}=\ell -{\frac {Mg}{2k}}=19\ cm\

b)

La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:

mgh={\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}\

v_{o}={\sqrt {2gh}}=3.13\ m/s\

Nell'urto si conserva la quantità di moto:

mv_{o}=mv_{f}+MV_{f}\rightarrow m(v_{o}-v_{f})=MV_{f}\

dove $v_{f}\$ e $V_{f}\$ sono la velocità del punto materiale e della sbarra. Ma si conserva anche l'energia:

{\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}+{\frac {1}{2}}MV_{f}^{2}\rightarrow m(v_{o}-v_{f})(v_{o}+v_{f})=MV_{f}^{2}\

Combinando le due equazioni:

v_{o}+v_{f}=V_{f}\

Che sostituita nella prima:

m(v_{o}-v_{f})=M(v_{o}+v_{f})\rightarrow (M+m)v_{f}=(m-M)v_{o}\

v_{f}={\frac {m-M}{m+M}}v_{o}=-2.7\ m/s\

c)

Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:

mgh_{f}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}\

h_{f}={\frac {v_{f}^{2}}{2g}}=0.36\ m\

d)

Dalla conservazione della quantità di moto:

V_{f}={\frac {m}{M}}(v_{o}-v_{f})=0.44\ m/s\

Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica diventa energia potenziale (attorno ad $\ell \$ ) di ampiezza (le molle sono due):

{\frac {1}{2}}MV_{f}^{2}=kx_{a}^{2}\

x_{a}=V_{f}{\sqrt {\frac {M}{2k}}}=0.014\ m\

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+===7. Sbarra sospesa===
-===21. Una trasformazione irreversibile===
+[[Immagine:Sbarrasospesa.png|250px|right]]
+Una sbarretta di massa <math>M\ </math> è sospesa agli estremi da due molle eguali  di costante elastica <math>k\ </math> che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza <math>\ell\ </math>. Un piccolo oggetto di massa <math>m\ </math> cade dall'alto da altezza <math>h\ </math> e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa <math>m\ </math>; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.
+(dati del problema <math>M=4\ kg\ </math>, <math>k=2000\ N/m\ </math>, <math>\ell=20\ cm\ </math>, <math>m=300\ g\ </math>, <math>h=50\ cm\ </math>)
-Una mole di gas ideale monoatomico inizialmente alla temperatura <math>T_0\ </math> è contenuta in un cilindro di volume <math>V_0\ </math> e subisce una compressione adiabatica reversibile da portarlo a un volume finale <math>V_f=V_0/3\ </math> e a una temperatura finale <math>T_f\ </math>. In queste condizioni, il gas è posto a contatto con una sorgente alla temperatura <math>T_0\ </math> alla quale si riporta mantenendo costante il volume del gas <math>V_f\ </math>.
-Si calcoli:
+<span class="noprint">[[#7. Sbarra sospesa_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
-a)	La temperatura <math>T_f\ </math> del gas e il lavoro da esso subito durante la compressione adiabatica reversibile;
-b)	La variazione totale di energia interna del gas;
-c)	La variazione di entropia dell’universo termodinamico.
-(Dati del problema: <math>T_0=300\ K\ </math>)
-<span class="noprint">[[#21. Una trasformazione irreversibile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 == Soluzioni ==
+===7. Sbarra sospesa===
-===21. Una trasformazione irreversibile===
-<span class="noprint">[[#21. Una trasformazione irreversibile|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
+<span class="noprint">[[#7. Sbarra sospesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 a)
+Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:
-La temperatura alla quale si porta il gas al termine della compressione adiabatica si ricava da:
-:<math>T_0V_0^{\gamma-1}=T_fV_f^{\gamma-1}\ </math>
+:<math>2k(\ell-\ell_o)-Mg=0\ </math>
+segue che:
-con <math>\gamma-1=0.66\ </math> essendo il gas monoatomico. Quindi:
-:<math>T_f=T_0\left(\frac {V_0}{V_f}\right)^{\gamma -1}=624.5\ K\ </math>
+:<math>\ell_o=\ell-\frac {Mg}{2k}=19\ cm\ </math>
-Il lavoro eseguito sul gas per comprimerlo è:
-:<math>W_{AB}=-nc_v(T_f-T_0)=-n\frac 32R(T_f-T_0)=-4\ kJ\ </math>
 b)
+La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:
-La variazione totale di energia interna del gas è nulla ritornando il gas alla stessa temperatura di partenza.
+:<math>mgh=\frac 12mv_o^2\ </math>
+:<math>v_o=\sqrt{2gh}=3.13\ m/s\ </math>
+Nell'urto si conserva la quantità di moto:
+:<math>mv_o=mv_f+MV_f\rightarrow m(v_o-v_f)=MV_f\ </math>
+dove <math>v_f\ </math> e <math>V_f\ </math> sono  la velocità del punto materiale e della sbarra.
+Ma si conserva anche l'energia:
+:<math>\frac 12mv_o^2=\frac 12mv_f^2+\frac 12MV_f^2\rightarrow m(v_o-v_f)(v_o+v_f)=MV_f^2\ </math>
+Combinando le due  equazioni:
+:<math>v_o+v_f=V_f\ </math>
+Che sostituita nella prima:
+:<math> m(v_o-v_f)=M(v_o+v_f)\rightarrow (M+m)v_f=(m-M)v_o\ </math>
+:<math>v_f=\frac {m-M} {m+M}v_o=-2.7\ m/s\ </math>
 c)
+Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:
-Per il calcolo della variazione di entropia dell’universo termodinamico, bisogna tenere in conto quella relativa al gas e quella relativa alla sorgente di calore alla temperatura <math>T_0\ </math>. Per la prima, durante la isocora, si ha:
-:<math>\Delta S_{gas}=nc_v\log \frac {T_0}{T_f}=-9.13\ J/K\ </math>
+:<math>mgh_f=\frac 12mv_f^2\ </math>
+:<math>h_f=\frac {v_f^2}{2g}=0.36\ m\ </math>
-Mentre nella sorgente durante la trasformazione BC entra una quantità di calore pari a:
-:<math>Q_{BC}=nc_v(T_f-T_0)=4\ kJ\ </math>
+d)
-Quindi:
-:<math>\Delta S_{sorgente}=\frac {Q_{BC}}{T_0}=13.5\ J/K\ </math>
+Dalla conservazione della quantità di moto:
-La variazione di entropia dell'universo termodinamico è:
-:<math>\Delta S_U=\Delta S_{gas}+\Delta S_{sorgente}=4.34\ J/K\ </math>
+:<math>V_f=\frac mM(v_o-v_f)=0.44\ m/s\ </math>
+Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica  diventa energia potenziale (attorno ad <math>\ell\ </math>) di ampiezza (le molle sono due):
+:<math>\frac 12MV_f^2= kx_a^2\ </math>
+:<math>x_a=V_f\sqrt{\frac M{2k}}=0.014\ m\ </math>