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Un castello di sabbia

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Esercizi

1. Forza elettrica e gravitazionale

Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica $F_{e}\$ tra un protone ed un elettrone e l'attrazione gravitazionale $F_{g}\$.

2. Quattro cariche eguali

Quattro cariche eguali $Q\$ sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato $l\$ (piano $xy\$). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza $l\$ (cioè sull'asse $z\$ nel punto $(0,0,l)\$ se l'origine è al centro del quadrato).

(dati del problema $Q=6\ \mu C$, $l=1\ m$)

3. Tre cariche eguali

Tre cariche eguali $q\$ praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l\$. Quale carica $q_{o}\$ va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?

(dati del problema $q=0.1\ \mu C$)

4. Due sbarrette perpendicolari

Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe $l\$, sono disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta $d\$ la distanza del punto $P\$ dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna sbarretta è distribuita uniformemente una carica $q\$. Determinare l'intensita' del campo elettrico in $P\$.

(dati del problema $l=1\ m$, $q=5\ nC$, $d=0.1\ m$)

5. Dipoli differenza di potenziale

Un dipolo: due cariche $q\$ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza $d\$. Determinare la differenza di potenziale (rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a distanza $3d\$, la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di $\theta \$ con la congiungente delle cariche stesse.

(dati del problema $q=5\ nC$, $d=3\ cm$, $\theta =20^{o}\$ )

6. Un disco uniformemente carico

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un disco di raggio $R\$ posto nel vuoto su cui è distribuita uniformente una carica $Q\$.

(dati $Q=1\ \mu C$, $R=10\ cm$).

7. Otto cariche eguali

Otto cariche eguali $Q\$ sono disposte sui vertici di un cubo di lato $a\$. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo. Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle coordinate a distanza $\alpha a\$ dall'origine, confrontando tale valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per $\alpha \$ generico.

(dati del problema: $a=1\ cm$, $Q=1\ nC$, $\alpha =3\$ )

8. Quattro cariche di segno opposto

Sui vertici di un quadrato di lato $l\$ sono disposte delle cariche eguali in modulo $Q\$, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.

(dati del problema $Q=6\ mC$, $l=1\ m$)

9. Un dipolo

Un dipolo: due cariche $q\$ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza $d\$. Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una distanza $2d\$ dal loro centro, in un punto la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di $\theta =45^{o}\$ con la congiungente delle cariche stesse.

10. Una spira circolare carica

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio $R\$ posta nel vuoto in cui è distribuita uniformente una carica $Q\$. Discutere i casi limite: $x\rightarrow 0\$ e $x\gg R\$

(dati $Q=1\ \mu C$, $R=10\ cm$).

11. Un semplice quadripolo

Sui vertici di un quadrato di lato $l\$ sono disposte delle cariche eguali in modulo $q\$, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.

Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle $x\$, ed in particolare calcolarne il valore per $x=0,l,10l\$ .

(dati del problema $q=4\ \mu C\$, $l=10\ cm\$)

12. Una sbarretta sottile isolante

Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza $l\$. Su di essa è distribuita uniformente una carica $q\$. Assunto un riferimento cartesiano con asse $x\$ coincidente con la direzione della sbarretta e origine nel suo centro. Trovare per quali $d\$ sono di pari intensità i campi elettrici in (d,0) e (0,d) a meno dell'1\%. (dati del problema $l=1\ m$, $q=5\ nC$)

13. Tre particelle cariche

Tre particelle cariche sono poste come in figura, separate da una distanza $d\$. Le cariche $q_{1}\$ e $q_{2}\$ sono tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica $q_{3}\$ soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio. Si determini il valore di $q_{1}\$ e la forza elettrica che agisce sulla carica $1\$.

(dati del problema $q_{2}=1\ nC$, $q_{3}=2\ nC$, $d=1\ cm$)

14. Anello carico

Su un anello di raggio $R\$ è distribuita uniformemente la carica $q\$. Una particella di carica $-q\$ viene posta con velocità nulla a distanza $R\$ dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine (immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).

(dati del problema $q=10^{-6}\ C$, $R=10\ cm$, $m=1\ g$ )

15. Due dipoli

Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza $z\$. a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90^o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?

(dati del problema $|p|=10^{-10}\ Cm\$, $z=1\ cm\$)

16. Piano con foro

Una particella dotata di carica $q\$ e massa $m\$ si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme $\sigma \$ in cui è praticato un foro circolare di raggio $R\$ e centro $C\$.

1) Si calcoli l'altezza $h_{o}\$ rispetto a $C\$ del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.

2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza $h_{o}/2\$ rispetto a $C\$, osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?

(Dati del problema: $q=1\ nC$, $m=1\ mg$, $\sigma =1\ \mu C/m^{2}$, $R=1\ m$. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)

17. Due sbarre allineate

Due sbarrette sottili di lunghezza $l\$ sono cariche uniformemente con una carica $-q\$ e $q\$ come mostrato in figura. Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle $x\$ con i loro centri distanti $a\$.

Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto $10a\$ (sull'asse delle $x\$). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo equivalente).

(Dati del problema $l=5\ cm\$, $q=10\ nC\$, $a=20\ cm\$)

18. Anello con distribuzione dipolare

Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio $R\$, ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:

$\lambda =A\sin \theta \$

dove $\theta \$ è l'angolo con l'asse delle $x\$ per cui la carica è positiva per $y>0\$ e negativa per $y<0\$. Determinare 1) la carica totale di mezzo anello per $y>0\$; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse $z\$ ed in particolare per $z=R\$; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .

(dati del problema $R=1\ cm\$, $A=10^{-9}\ C/m\$)

19. Piano tagliato

Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme $\sigma \$ ha uno stretto taglio di dimensioni $d\$. Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da $D\$ ($d\ll D\$).

20. Goccia d'olio

Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Q_o e sulla sua superficie un campo elettrico pari a E_o. Determinare a) il raggio R_o della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).

(dati del problema $Q_{o}=1\ nC$, $E_{o}=10^{6}\ V/m$)

21. Tre cariche sui vertici di un quadrato

Su tre vertici di un quadrato di lato $a\$ sono fissate rispettivamente due cariche positive $q\$ ed una negativa $-2q\$ come mostrato in figura. Sul quarto spigolo $P_{1}\$ viene posta una carica $q_{1}\$, di massa $m_{1}\$ con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica $q_{1}\$ nel punto $P_{1}\$ e b) la velocità con cui arriva nel punto $P_{2}\$ (sulla continuazione della diagonale del quadrato).

(Dati del problema: $q=1\ nC\$, $a=1\ mm\$, $q_{1}=1\ pC\$, $m_{1}=10^{-10}\ kg\$)

22. Due cariche sui vertici di un triangolo

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza $l\$. Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme $Q_{1}\$, mentre all'estremità opposta è posta una carica $Q_{2}\$ di valore variabile pari a $Q_{2}=\alpha Q_{1}\$. Determinare sul vertice $P\$ opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di $\alpha \$ per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.

(Dati del problema: $Q_{1}=1\ \mu C\$, $l=1\ m\$, $-1\leq \alpha \leq 1\$)

23. Semisfera

Determinare il campo elettrico al centro di una semisfera di materiale isolante con pareti sottili e forma semisferica raggio $R\$ e carica $Q\$.

24. Carica e dipolo

Una carica $q=100\ pC\$ è posta nell'origine delle coordinate ed ad una distanza $d=1\ cm\$ vi è un dipolo elettrico, con momento $|p|=2\times 10^{-14}\ Cm\$, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) . Assunto come asse delle $x\$ la congiungente la carica ed il dipolo; determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo sia trascurabili rispetto a $d=1\ cm\$; b) il campo elettrico generato nel punto $x=2d/3\$; c) la differenza di potenziale tra $x=0.2d\$ e $x=0.8d\$.

Soluzioni

1. Forza elettrica e gravitazionale

L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere espressa come:

$F_{g}=G\ {\frac {m_{p\ }m_{e}}{r^{2}}}\$

Con $m_{p}\$ abbiamo indicato la massa del protone,

$m_{p}=1.672623\cdot 10^{-27}\ kg$

$G=6.7\cdot 10^{-11}\ Nm^{2}/kg^{2}$

mentre con $m_{e}\$ indichiamo la massa dell'elettrone,

$m_{e}=9.109389\cdot 10^{-31}\ kg\$

L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:

$F_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}\$

Con $e\$ abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica dell'elettrone,

$e=1.60217733\cdot 10^{-19}\ C$

Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:

$R={\frac {F_{e}}{F_{g}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\ {\frac {e^{2}}{G\ m_{p}m_{e}}}={\frac {9\cdot 10^{9}\cdot \left(1.6\cdot 10^{-19}\right)^{2}}{6.7\cdot 10^{-11}\cdot \left(1.67\cdot 10^{-27}\right)\cdot \left(9.1\cdot 10^{-31}\right)}}\approx 2\cdot 10^{39}$

2. Quattro cariche eguali

La distanza di ogni carica dal punto dato vale:

$r={\sqrt {l^{2}/2+l^{2}}}=l{\sqrt {3/2}}$

Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:

$|E|={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}={\frac {Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=3.6\cdot 10^{4}\ V/m$

La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:

$E_{a}=|E|{\frac {l}{r}}={\frac {Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\frac {l}{r}}={\frac {Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\$

Quindi sommando i 4 contributi:

$|E_{t}|={\frac {4Q}{6\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}=1.17\cdot 10^{5}\ V/m$

3. Tre cariche eguali

Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.

Se definiamo $1\$ e $2\$ le cariche in basso e $3\$ quella in alto disponendole come in figura. Detto $l\$ il lato del triangolo:

$|F_{13}|=|F_{23}|={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}\$

Le componenti delle due forze nella direzione $x\$ si annullano a vicenda per cui rimane solo la componente lungo $y\$ se definisco $\theta \$ l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del triangolo. Tale angolo vale $30^{o}\$. Quindi la componente lungo l'asse $y\$ di tali forze valgono:

$F_{13y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}\cos \theta \$

Quindi la forza totale vale:

$F_{ty}=2{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}\cos \theta ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q^{2}}{l^{2}}}{\sqrt {3}}\$

avendo sostituito a $\cos 30^{o}\$ il suo valore ${\sqrt {3}}/2\$.

La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto $l/2\$ e angolo tra ipotenusa e cateto di $30^{o}\$. Quindi:

$r\cos 30^{o}={\frac {l}{2}}\qquad \rightarrow r=l/{\sqrt {3}}\$

Quindi la forza dovuta dalla carica al centro:

$F_{0y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{o}q}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{o}q}{(l/{\sqrt {3}})^{2}}}\$

Affinché la forza totale sia nulla:

${\frac {qq_{o}}{4\pi \epsilon _{o}(l/{\sqrt {3}})^{2}}}+{\frac {q^{2}{\sqrt {3}}}{4\pi \epsilon _{o}l^{2}}}=0\$

quindi:

$q_{o}=-q{\frac {\sqrt {3}}{3}}=-58\ nC$

4. Due sbarrette perpendicolari

Detto:

$\lambda ={\frac {q}{l}}\$

Il campo generato dalla prima barretta vale:

$E_{x}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{d}^{d+l}{\frac {\lambda dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{l}}\left[{\frac {1}{d}}-{\frac {1}{d+l}}\right]=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}d(d+l)}}\$

Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:

$E_{y}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}d(d+l)}}\$

Quindi l'intensità del campo vale: $|E|={\frac {q{\sqrt {2}}}{4\pi \varepsilon _{o}d(d+l)}}=578\ V/m$

5. Dipoli differenza di potenziale

Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle $x\$ coincidente con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:

$x_{1}=3d\cos \theta =0.085\ m$

$y_{1}=3d\sin \theta =0.031\ m$

Quindi il punto dista dalla carica positiva:

$d_{1}={\sqrt {(x_{1}-d/2)^{2}+y_{1}^{2}}}=0.076\ m$

e da quella negativa:

$d_{2}={\sqrt {(x_{1}+d/2)^{2}+y_{1}^{2}}}=0.104\ m$

Il potenziale esatto vale:

$V_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}q\left({\frac {1}{d_{1}}}-{\frac {1}{d_{2}}}\right)=160\ V$

Mentre quello approssimato vale:

$V_{a}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {qd3d\cos \theta }{(3d)^{3}}}=156\ V$

6. Un disco uniformemente carico

La densità di carica superficiale vale:

$\sigma ={\frac {Q}{\pi R^{2}}}\$

Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica in cui una spira di raggio $r\$ e con carica $Q\$ distribuita uniformemente sull'anello $\lambda =Q/2\pi r\$, generava un campo su un punto generico dell'asse:

$E_{x}={\frac {\lambda R}{2\varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}$

Se consideriamo i differenziali equivalenti: $dE_{x}\$ invece di $E_{x}\$ e $dQ=\sigma 2\pi rdr=(Q2rdr)/(R^{2})\$ invece di $Q\$. Si ha che:

$dE_{x}={\frac {Q2rdr}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}\$

Quindi:

$E_{x}={\frac {Qx}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{R}{\frac {2rdr}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}={\frac {Qx}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {-2}{(r^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]_{0}^{R}={\frac {Q}{2\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {x}{|x|}}-{\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]\$

Se $x\ll R\$ il termine ${\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\$ è trascurabile e quindi:

$E_{x}\approx {\frac {2Q}{4\pi R^{2}\varepsilon _{o}}}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\$

Mentre se $x\gg R\$ si può approssimare $E_{x}\$ facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:

$\left[1-{\frac {x}{(R^{2}+x^{2})^{1/2}}}\right]\approx {\frac {R^{2}}{2x^{2}}}\$

quindi quando $x\gg R$ si ha che lungo l'asse il campo vale:

$E_{x}={\frac {Q}{4\pi x^{2}\varepsilon _{o}}}$

come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.

7. Otto cariche eguali

La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:

$d_{1}={\sqrt {(a\alpha -a/2)^{2}+a^{2}/2}}=0.0255\ m$

L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti è quella lungo l'asse delle $x\$ quindi essendo il coseno dell'angolo formato con l'asse delle $x\$:

$\cos \theta _{1}={\frac {\alpha a-a/2}{\sqrt {(a\alpha -a/2)^{2}+a^{2}/2}}}=0.962$

Analogamente per le cariche lontane:

$d_{2}={\sqrt {(a\alpha +a/2)^{2}+a^{2}/2}}=0.035\ m$

$\cos \theta _{2}={\frac {\alpha a+a/2}{\sqrt {(a\alpha +a/2)^{2}+a^{2}/2}}}=0.98$

Quindi il valore del campo esatto, nella sola direzione $x\$, vale: $E_{e}={\frac {q}{\pi \varepsilon _{o}}}\left({\frac {\cos \theta _{1}}{d_{1}^{2}}}+{\frac {\cos \theta _{2}}{d_{2}^{2}}}\right)=7.89\cdot 10^{4}\ V/m$

Mentre quello approssimato vale:

$E_{a}={\frac {2q}{\pi \varepsilon _{o}(\alpha a)^{2}}}=8\cdot 10^{4}\ V/m$

La formula generale vale: $E_{e}={\frac {q}{\pi \varepsilon _{o}a^{2}}}\left\{{\frac {\alpha -1/2}{[(\alpha -1/2)^{2}+1/4]^{3/2}}}+{\frac {\alpha +1/2}{[(\alpha +1/2)^{2}+1/4]^{3/2}}}\right\}$

che per $\alpha \$ grande diventa:

$E_{e}\approx {\frac {2q}{\pi \varepsilon _{o}(\alpha a)^{2}}}$

8. Quattro cariche di segno opposto

Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:

$|F_{1}|={\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=3.27\ 10^{5}\ N$

Quindi in totale, essendo a $90^{o}\$ una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:

$|F_{a}|={\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {2}}=4.57\ 10^{5}\ N$

La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:

$|F_{r}|={\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}2}}=1.62\ 10^{5}\ N$

Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:

$|F_{t}|=|F_{a}|-|F_{r}|=2.96\ 10^{5}\ N$

9. Un dipolo

Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro congiungente come asse delle $x\$, mentre la perpendicolare sul piano è l'asse delle $y\$: $-q\$ è in $(-d/2,0,0)\$, $+q\$ è in $(d/2,0,0)\$, mentre il punto è in (${\sqrt {2}}d,{\sqrt {2}}d,0\$). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:

$|r_{-}|={\sqrt {2d^{2}+(d{\sqrt {2}}+d/2)^{2}}}=d{\sqrt {2+2+1/4+{\sqrt {2}}}}=2.4d\$

Mentre da quella positiva:

$|r_{+}|={\sqrt {2d^{2}+(d{\sqrt {2}}-d/2)^{2}}}=d{\sqrt {2+2+1/4-{\sqrt {2}}}}=1.7d\$

Il campo esatto per le componenti x vale:

$E_{x+}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}-d/2}{(1.7d)^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.19\$

$E_{x-}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}+d/2}{(2.4d)^{3}}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.14\$

$E_{x}=E_{x+}+E_{x-}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.049\$

Il campo approssimato per le componenti y vale:

$E_{y+}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}}{(1.7d)^{3}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.29\$

$E_{y-}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {d{\sqrt {2}}}{(2.4d)^{3}}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.1\$

$E_{y}=E_{y+}+E_{y-}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.191\$

$|E_{e}|={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}}=0.19753{\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}$

Mentre quello approssimato:

$p=(qd,0,0)\$

$r=({\sqrt {2}}d,{\sqrt {2}}d,0)\$

Quindi:

${\vec {p}}\cdot {\vec {r}}={\sqrt {2}}qd^{2}\$

Essendo:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}r^{5}}}\left[3({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {p}}\right]\$

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}2^{5}d^{5}}}\left[3{\sqrt {2}}qd^{2}{\sqrt {2}}d-4d^{2}qd\right]={\frac {q}{4\pi \epsilon _{o}d^{2}}}0.0625\$

$E_{y}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}d^{5}}}\left[3{\sqrt {2}}qd^{2}{\sqrt {2}}d\right]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}0.187\$

per cui:

$|E_{a}|={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}}=0.19764{\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {q}{d^{2}}}\$

Quindi il rapporto vale:

${\frac {|E_{e}|}{|E_{a}|}}=0.9994\$

Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.

10. Una spira circolare carica

La densità di carica vale:

$\lambda ={\frac {Q}{2\pi R}}\$

Assunta come origine il centro della spira e asse delle $x\$ l'asse della spira. Il campo elettrico generato dal generico elemento ${\vec {dl}}\$ di circonferenza vale in modulo:

$|dE|={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda dl}{r^{2}}}\$

Dove:

$r^{2}=R^{2}+x^{2}\$

Interessa calcolare solo la componente $dE_{x}\$ di ${\vec {dE}}\$. Infatti per ogni elemento ${\vec {dl}}\$ esiste una altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse $x\$ uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.

$dE_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda dl}{r^{2}}}\cos \vartheta \$

Detto $\vartheta \$ l'angolo formato dalla congiungente l'elementino $dl\$ con il punto sull'asse e l'asse delle $x\$. Integrando su $dl\$ lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato $x\$, sia $R\$, che $\vartheta \$ sono costanti:

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda }{r^{2}}}\cos \vartheta \int dl={\frac {2\pi R}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda }{r^{2}}}\cos \vartheta$

Geometricamente è facile mostrare che:

$\cos \vartheta ={\frac {x}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}\$

Quindi:

$E_{x}={\frac {\lambda R}{2\varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}\$

Essendo:

$\lambda ={\frac {Q}{2\pi R}}\$

$E_{x}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}\$

Tale campo vale per $x=0\$:

$E_{x}(x=0)=0\$

Inoltre:

$E_{x}(x\gg R)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {1}{x^{2}}}$

Nella figura viene graficato il valore della funzione $E_{x}\$ e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica $Q\$

11. Un semplice quadripolo

Solo la componente $y\$ del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti (rispetto un punto sull'asse delle $x\$ positivo) generano un campo:

$E_{1y}=-{\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon _{o}\left[(x+l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\$

mentre le più vicine:

$E_{1y}=+{\frac {2ql/2}{4\pi \varepsilon _{o}\left[(x-l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\$

Quindi in totale:

$E_{y}={\frac {ql}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left\{{\frac {1}{\left[(x-l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}-{\frac {1}{\left[(x+l/2)^{2}+(l/2)^{2}\right]^{3/2}}}\right\}\$

Ovviamente tale funzione vale $0\$ per $x=0\$, mentre per gli altri due casi:

$E_{y}(x=l)=9.3\ MV/m\$

$E_{y}(x=10l)=1.08\ kV/m\$

A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.

12. Una sbarretta sottile isolante

a) Detto :

$\lambda ={\frac {q}{l}}\$

Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{-l/2}^{l/2}{\frac {\lambda dx}{\left(d-x\right)^{2}}}={\frac {\lambda }{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{d-l/2}}-{\frac {1}{d+l/2}}\right]={\frac {\lambda l}{4\pi \varepsilon _{o}(d^{2}-l^{2}/4)}}$

Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo diretto secondo l'asse delle y, per cui:

$E_{y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{-l/2}^{l/2}{\frac {\lambda dx}{\left(x^{2}+d^{2}\right)}}{\frac {d}{\sqrt {x^{2}+d^{2}}}}={\frac {\lambda d}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {x}{d^{2}{\sqrt {x^{2}+d^{2}}}}}\right]_{-l/2}^{l/2}={\frac {\lambda l}{4\pi \varepsilon _{o}d{\sqrt {l^{2}/4+d^{2}}}}}$

Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo sia inferiore al valore in (d,0).

A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:

${\frac {\lambda l}{4\pi \varepsilon _{o}d^{2}}}\$

Quindi imponendo che:

${\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}(d^{2}-l^{2}/4)}}=1.01{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}d{\sqrt {l^{2}/4+d^{2}}}}}\$

${\frac {1}{d^{2}-l^{2}/4}}={\frac {1.01}{d{\sqrt {l^{2}/4+d^{2}}}}}\$

Segue che la condizione viene realizzata se:

$d\geq 6.14\ m$

13. Tre particelle cariche

Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore. Perché la forza elettrica che agisce sulla carica $3\$ sia nulla occorre che:

$F_{13}+F_{23}=0\$

Quindi essendo:

$F_{13}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{3}}{(2d)^{2}}}\$

$F_{23}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{2}q_{3}}{(d)^{2}}}\$

Occorre che:

${\frac {q_{1}}{(2d)^{2}}}=-{\frac {q_{2}}{d^{2}}}\$

$q_{1}=-4q_{2}=-4\ nC\$

La forza elettrica che agisce sulla carica $1$ vale (diretta da sinistra a destra):

$F_{31}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{3}}{(2d)^{2}}}=0.18\ mN\$

Mentre quella dovuta alla carica $2\$ vale (diretta da sinistra a destra):

$F_{21}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{d^{2}}}=0.36\ mN\$

In totale quindi:

$F_{1}=F_{31}+F_{21}=0.54\ mN$

14. Anello carico

La densità di carica vale:

$\lambda ={\frac {Q}{2\pi R}}\$

Assunta come origine il centro della spira ed asse delle $x\$ l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza $x\$ dal centro della spira vale:

$V(x)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0}^{2\pi R}{\frac {\lambda dl}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}\$

Quindi:

$V(0)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}R}}\$

$V(R)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}R{\sqrt {2}}}}\$

Quindi:

$E_{c}=-q\left[V(R)-V(0)\right]={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}R}}\left[1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]=0.026\ J$

$v={\sqrt {\frac {2E_{c}}{m}}}=7.2\ m/s\$

15. Due dipoli

Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse $z\$ diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:

$E_{z}={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}z^{3}}}\$

Quindi la derivata:

${\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {3p}{2\pi \varepsilon _{o}z^{4}}}\$

$F_{z}=p{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=-{\frac {3p^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}z^{4}}}=0.054\ N$

Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.

Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:

$|M|={\frac {p^{2}}{2\pi \varepsilon _{o}z^{3}}}=1.8\cdot 10^{-4}\ Nm\$

16. Piano con foro

Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come $z\$, l'asse verticale:

$E_{z}={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\$

Mentre, per quanto riguarda un disco di carica $-\sigma \$:

$E_{z}=-{\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left[1-{\frac {z}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}\right]\$

Quindi in totale:

$E_{z}={\frac {\sigma z}{2\epsilon _{0}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}}\$

La condizione di equilibrio è:

$qE_{z}-mg=0\$

Da cui si ricava:

$h_{o}={\frac {R}{\sqrt {(q\sigma /2\epsilon _{0}mg)^{2}-1}}}\approx 17.6\ cm$

la differenza di potenziale tra $0\$ e $h_{o}/2\$ vale:

$V(h_{0}/2)-V(0)=-\int _{0}^{h_{0}/2}E(z)dz=-{\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left[{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}\right]_{0}^{h_{0}/2}={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left(R-{\sqrt {(h_{0}/2)^{2}+R^{2}}}\right)\$

Agendo solo forze conservative si ha:

${\frac {1}{2}}mv^{2}=q[V(h_{0}/2)-V(0)]+mg{\frac {h_{o}}{2}}\$

Quindi:

$v={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {q[V(h_{0}/2)-V(0)]+mgh_{o}/2}}=1.12\ m/s$

17. Due sbarre allineate

Detto:

$\lambda ={\frac {q}{l}}\$

Se chiamiamo $r\$ la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle $x\$ al centro vale: Quindi genera al centro in totale:

$E_{x}(x=0)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}{\frac {dr}{r^{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[-{\frac {1}{r}}\right]_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}=-{\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{a-l}}-{\frac {1}{a+l}}\right]\$

Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:

$E_{xt}(x=0)=-{\frac {\lambda }{\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{a-l}}-{\frac {1}{a+l}}\right]=-19\ kV/m\$

In un punto generico dell'asse delle x per $x>a/2+l/2\$: La prima sbarretta genera un campo:

$E_{x}^{-}(x)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}{\frac {dr}{(x-r)^{2}}}\$

Facendo un cambiamento di variabile:

$E_{x}^{-}(x)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[-{\frac {1}{y}}\right]_{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}=\$

$E_{x}^{-}(10a)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{10a+a/2+l/2}}-{\frac {1}{10a+a/2+l/2}}\right]=-19.18\ V/m\$

Analogamente per l'altra sbarretta:

$E_{x}^{+}(x)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{a/2-l/2}^{a/2+l/2}{\frac {dr}{(x-r)^{2}}}\$

Facendo un cambiamento di variabile:

$E_{x}^{+}(x)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \int _{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{y}}\right]_{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}=\$

$E_{x}^{+}(10a)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\lambda \left[{\frac {1}{10a-a/2-l/2}}-{\frac {1}{10a-a/2+l/2}}-\right]=24.91\ V/m\$

In totale quindi:

$E_{xt}(x=10a)=E_{x}^{-}(10a)+E_{x}^{+}(10a)=4.52\ V/m\$

Mentre il dipolo equivalente vale:

$p=qa\$

Quindi il campo generato vale:

$E_{x}\approx {\frac {qa}{2\pi \epsilon _{0}(10a)^{3}}}=4.49\ V/m\$

Praticamente eguale al valore approssimato.

18. Anello con distribuzione dipolare

La carica per $y>0\$ è quella che si ha se $0\leq \theta \leq \pi \$:

$q^{+}=\int _{0}^{\pi }\lambda dl\$

Ma $dl=Rd\theta \$ e $\lambda =A\sin \theta \$ quindi:

$q^{+}=RA\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =RA\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=2RA=20\ pC\$

Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:

$|dE|={\frac {\lambda dl}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})}}={\frac {AR\sin \theta d\theta }{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})}}\$

$dE_{z}=|dE|{\frac {z}{(R^{2}+z^{2})^{1/2}}}={\frac {ARz}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\sin \theta d\theta \$

$E_{z}=\int _{0}^{2\pi }dE_{z}={\frac {ARz}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\sin \theta d\theta =0\$

$dE_{x}=|dE|{\frac {R}{(R^{2}+z^{2})^{1/2}}}\cos \theta d\theta \$

$E_{x}={\frac {AR^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\sin \theta \cos \theta d\theta =0\$

$dE_{y}=-|dE|{\frac {R}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\sin \theta d\theta \$

$E_{y}=-{\frac {AR^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta d\theta =-{\frac {AR^{2}}{4\varepsilon _{o}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\$

Quindi nel caso di $z=R\$:

$E_{y}=-{\frac {A}{4\varepsilon _{o}R2^{3/2}}}\approx 1000\ V/m\$

mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle $x\$, che distano $2R\sin \theta \$ con una carica $dq=RA\sin \theta d\theta \$:

$dp_{y}=RA\sin \theta d\theta 2R\sin \theta =2R^{2}A\sin ^{2}\theta d\theta \$

Ed integrare su metà della circonferenza:

$p_{y}=2R^{2}A\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta d\theta =R^{2}A\pi =3.14\cdot 10^{-13}\ Cm\$

Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta d\theta ={\frac {\pi }{2}}\$

Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando $E_{y}\$ a grande distanza sull'asse.

19. Piano tagliato

Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità $\sigma \$ ed una striscia carica con densità $-\sigma \$. Per quanto riguarda il piano, assunto come $z\$, l'asse verticale:

$E_{z}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\$

Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza $d\$ e densità di carica $-\sigma \$, è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza ${\sqrt {x^{2}+D^{2}}}\$, per ciascuno dei quali:

$|dE|={\frac {\sigma dx}{2\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {x^{2}+D^{2}}}}}\$

La componente lungo l'asse delle $z\$ di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:

$dE_{z}={\frac {\sigma Ddx}{2\pi \varepsilon _{o}(x^{2}+D^{2})}}\$

$E_{z}={\frac {\sigma D}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{-d/2}^{d/2}{\frac {dx}{x^{2}+D^{2}}}={\frac {2\sigma D}{2\pi \varepsilon _{o}D}}\arctan(d/2D)\$

Se $d\ll D\$ si ha che $\arctan(d/2D)\approx d/2D\$ e quindi:

$E_{z}\approx {\frac {\sigma d}{\pi \varepsilon _{o}2D}}\$

Quindi in totale: $E_{z}\approx {\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}[1-d/(\pi D)]\$

20. Goccia d'olio

Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio $r$, avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:

$E(r)={\frac {Q_{r}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}$

con Q_r pari alla carica contenuta all'interno della sfera.

a)

Quindi, sulla superficie della goccia, vale:

$E_{0}={\frac {Q_{o}}{4\pi \varepsilon _{o}R_{o}^{2}}}$

$R_{0}={\sqrt {\frac {Q_{o}}{4\pi \varepsilon _{o}E_{0}}}}=0.003\ m$

b)

Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto

$\rho ={\frac {Q_{r}}{v_{r}}}={\frac {Q_{o}}{v_{o}}}$

per ogni r > 0, indicando con v_r il volume della sfera di raggio r e con v_o il volume della goccia d'olio.

$Q_{r}={\frac {Q_{o}v_{r}}{v_{o}}}={\frac {Q_{o}r^{3}}{R_{o}^{3}}}$

La differenza di potenziale vale:

$\Delta V=-\int _{0}^{R_{o}}E(r)dr=-\int _{0}^{R_{o}}{\frac {Q_{r}}{\varepsilon _{o}4\pi r^{2}}}dr=\int _{0}^{R_{o}}{\frac {Q_{o}r}{4\pi \varepsilon _{o}R_{o}^{3}}}dr=-{\frac {Q_{o}}{8\pi \varepsilon _{o}R_{o}}}=-1.5\ kV$

c)

Quindi la densità di carica vale:

$\rho =8.85\cdot 10^{-3}\ C/m^{3}$

Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con $0<r<R_{0}\$, il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:

$V(r)=Q(r)/(4\pi \varepsilon _{o}r)\$

con $Q(r)=\rho 4/3\pi r^{3}\$, quindi:

$V(r)=\rho r^{2}/(3\varepsilon _{o})\$

Se aggiungiamo una carica $dq\$:

$dq=\rho 4\pi r^{2}dr\$

L'energia necessaria sarà:

$dU=dqV(r)={\frac {\rho ^{2}4\pi r^{4}}{3\varepsilon _{o}}}dr\$

$U_{0}=\int _{0}^{R_{0}}{\frac {\rho ^{2}4\pi r^{4}}{3\varepsilon _{o}}}dr={\frac {\rho ^{2}4\pi R_{0}^{5}}{15\varepsilon _{o}}}={\frac {3Q_{0}^{2}}{20\pi \varepsilon _{o}R_{0}}}=1.8\cdot 10^{-6}\ J$

Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:

$2R_{1}^{3}=R_{0}^{3}$

$R_{1}=R_{0}/{\sqrt[{3}]{2}}=0.0021\ m$

$U_{f}=2{\frac {3(Q_{0}/2)^{2}}{20\pi \varepsilon _{o}R_{1}}}={\frac {3(Q_{0})^{2}}{40\pi \varepsilon _{o}R_{1}}}=1.3\cdot 10^{-6}\ J$

21. Tre cariche sui vertici di un quadrato

a) Il campo elettrico generato nel punto $P_{1}\$ dalla carica $-2q\$ è diretto secondo la diagonale e vale:

$E_{1d}={\frac {-2q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}2}}\$

quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:

$|E_{2}|={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}}}\$

Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale (opposta a quella della carica $-2q\$)

$E_{2d}={\frac {2q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}{\sqrt {2}}}}\$

Quindi in totale:

$E_{d}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}}}({\sqrt {2}}-1)=3.7\cdot 10^{6}\ V/m\$

Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:

$a_{1}={\frac {qq_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}a^{2}m_{1}}}({\sqrt {2}}-1)=3.7\cdot 10^{4}\ m/s^{2}\$

b) Il potenziale nel punto $P_{1}\$ (rispetto all'infinito) vale :

$V_{1}={\frac {-2q}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}a}}+{\frac {2q}{4\pi \varepsilon _{o}a}}={\frac {q}{2\pi \varepsilon _{o}a}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\$

(il primo termine dovuto alla cariche $q\$, l'altro dovuto alla carica $-2q\$) Il potenziale nel punto $P_{2}\$ (rispetto all'infinito) vale :

$V_{2}={\frac {-2q}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}2a}}+{\frac {2q}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {5}}a}}={\frac {q}{2\pi \varepsilon _{o}a}}\left({\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)\$

Quindi la differenza di potenziale tra $V_{1}\$ e $V_{2}\$

vale:

$\Delta V=V_{1}-V_{2}={\frac {q}{2\pi \varepsilon _{o}a}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)=3580\ V\$

Quindi:

${\frac {1}{2}}m_{1}v_{2}^{2}=q_{1}\Delta V\$

$v_{1}=8.5\ m/s\$

22. Due cariche sui vertici di un triangolo

Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:

$E_{x1}=E_{y1}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}{\sqrt {2}}}}\$

mentre quello generato dalla carica 2:

$E_{x2}=-E_{y2}={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}{\sqrt {2}}}}={\frac {\alpha Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}{\sqrt {2}}}}\$

Quindi in totale

$E_{x}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}l^{2}}}(1-\alpha )\$

$E_{y}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}{\sqrt {2}}l^{2}}}(1+\alpha )\$

a) $E_{x}\$ è massimo quando $\alpha =-1\$ e vale:

$E_{x}={\frac {Q_{1}}{2{\sqrt {2}}\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=12.7\ kV/m\$

mentre $E_{y}=0\$.

b) $E_{y}\$ è massimo quando $\alpha =1\$ e vale

$E_{y}={\frac {Q_{1}}{2{\sqrt {2}}\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=12.7\ kV/m\$

mentre $E_{x}=0\$.

c) Il modulo del campo elettrico vale:

$|E|={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}\$

che è minima quando $\alpha =0\$ e vale:

$|E|={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{o}l^{2}}}=9\ kV/m\$

23. Semisfera

La densità di carica è:

$\sigma ={\frac {Q}{2\pi R^{2}}}$

Definendo con $\theta \$ l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico anello ha un raggio $r=R\sin \theta \$ e dista dal centro della semisfera $x=R\cos \theta \$. Quindi il generico anello ha una carica:

$dq=\sigma 2\pi rRd\theta =\sigma 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta \$

Un anello carico genera su un punto a distanza $x\$ un campo:

$dE_{x}={\frac {dq}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {x}{(x^{2}+r^{2})^{3/2}}}\$

Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo:

$dE_{x}={\frac {\sigma 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta }{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {R\cos \theta }{R^{3}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}={\frac {\sigma \sin \theta \cos \theta d\theta }{2\varepsilon _{o}}}\$

Quindi:

$E_{x}={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\int _{0}^{1}\sin \theta d\sin \theta ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{o}}}\left[{\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {\sigma }{4\varepsilon _{o}}}={\frac {Q}{8\pi \varepsilon _{o}R^{2}}}\$

24. Carica e dipolo

a)

Un dipolo, posto nel punto di coordinate $d\$, genera lungo il suo asse un campo pari:

$E_{x}={\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{(d-x)^{3}}}\$

In particolare per $x=0\$ (dove è la carica $q\$):

$E_{x}={\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{(d)^{3}}}=360\ V/m\$

Quindi la forza attrattiva sulla carica $q\$ vale:

$F=qE_{x}={\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {pq}{(d)^{3}}}=121\ nN\$

b)

Il campo generato lungo l'asse delle x per $x\leq 0\$ vale:

$E_{xt}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{x^{2}}}+{\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {p}{(d-x)^{3}}}\$

Quindi se $x=2/3d=6.7\ mm\$:

$E_{xt}=3\cdot 10^{4}\ V/m\$

c)

La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:

$DV_{q}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.2d}^{0.8d}{\frac {1}{x^{2}}}dx={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[{\frac {1}{x}}\right]_{0.8d}^{0.2d}=337\ V\$

La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:

$DV_{p}=-{\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.2d}^{0.8d}{\frac {1}{(d-x)^{3}}}dx\$

Facendo un cambio di variabile $y=d-x\$:

$DV_{p}={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\int _{0.8d}^{0.2d}{\frac {1}{y^{3}}}dy={\frac {p}{2\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {1}{2y^{2}}}\right]_{0.8d}^{0.2d}=42\ V\$

Quindi in totale:

$DV=DV_{q}+DV_{p}=379\ V\$