Analisi matematica/Equazioni lineari: differenze tra le versioni
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==Equazioni lineari== |
==Equazioni lineari== |
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:::<math>\ Caso\ a, \qquad forma\ omogenea: \qquad {dy\over dx}+a(x)y=0,</math> |
:::<math>\ Caso\ a, \qquad forma\ omogenea: \qquad {dy\over dx}+a(x) y=0,</math> |
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Si separano subito le variabili; <math>\ {dy\over y}+a(x)dx=0,</math> |
Si separano subito le variabili; <math>\ {dy\over y}+a(x) dx=0,</math> |
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onde: |
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:::::<math>\ log\ y=-\int_{}^{}a(x)dx+C,\qquad y=Ce^{-\int_{}^[{}adx}</math> |
:::::<math>\ log\ y=-\int_{}^{}a(x) dx+C,\qquad y=Ce^{-\int_{}^[{}adx}</math> |
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:::<math>\ Caso\ b, \qquad forma\ completa: \qquad {dy\over dx}+a(x)y+b(x)=0,</math> |
:::<math>\ Caso\ b, \qquad forma\ completa: \qquad {dy\over dx}+a(x) y+b(x)=0,</math> |
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Si pone: <math>\ y=\gamma e^ {-\int_{}^{adx}} </math> (\gamma essendo una funzione di '''x'''da determinarsi), cioè si |
Si pone: <math>\ y=\gamma e^ {-\int_{}^{adx}} </math> (\gamma essendo una funzione di '''x'''da determinarsi), cioè si |
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:::::<math>\ y=e^{-\int_{}^{}adx}({-\int_{}^{}be^{\int_{}^{}adx}dx}</math> |
:::::<math>\ y=e^{-\int_{}^{}adx}({-\int_{}^{}be^{\int_{}^{}adx}dx}</math> |
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<math>\ Esempio\qquad {dy\over dx}+2{y\over x}-x^3=0</math> |
<math>\ Esempio\qquad {dy\over dx}+2{y\over x}-x^3=0</math> |
Versione delle 17:21, 4 ott 2018
Equazioni lineari
Si separano subito le variabili;
onde:
Si pone: (\gamma essendo una funzione di xda determinarsi), cioè si
cerca un integrale particolare dell'equazione completa, onde:
si sostituisce nell'equazione e si ha:
onde l'integrale generale si ottiene addizionamdoall'integrale generale dell'equazine omogenea questo integrale
particolar della completa, cioè:
(Questo metodo si dice metodo della variazione della costante arbitraria)