Fondamenti di automatica/Sistemi lineari tempoinvarianti

Descrizione con equazioni differenziali

Si può creare un modello matematico di molti sistemi per mezzo delle equazioni differenziali Trattiamo solo sistemi modellizzabili con equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

In generale un sistema lineare tempoinvariante SISO rappresentato con equazioni differenziali avrà uno stato interno descritto da equazioni del tipo $x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\cdots +a_{1}x'(t)+a_{0}x(t)=bu(t)$ dove $x(t)$ è la funzione di stato, i coefficienti $a_{0..n}$ sono numeri reali e $u(t)$ è la funzione di ingresso. L'uscita del sistema è data in generale come funzione lineare dello stato e dell'ingresso $y(t)=c_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\cdots +c_{1}x(t)+c_{0}(t)+du(t)$

Il polinomio caratteristico dell'equazione è $P_{C}(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

La soluzione generale dell'equazione sarà composta da una componente data dalla soluzione dell'equazione omogenea associata (dove $u(t)=0$) più una componente detta soluzione particolare che sarà dello stesso tipo di $u(t)$

Per ottenere una soluzione unica, è necessario conoscere tante condizioni ($n$) su $x(t)$ o sulle sue derivate pari al grado dell'equazione

Sistemi di equazioni differenziali

È possibile scomporre sempre una o più equazioni differenziali in un sistema di equazioni differenziali del primo ordine del tipo $x'(t)=ax(t)+bu(t)$ dove $a$ e $b$ sono scalari reali che ha soluzione

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}+\int _{t_{0}}^{t}e^{a(t-k)}bu(k)dk$

Diagramma analogico

È possibile rappresentare un sistema in una forma a blocchi detta diagramma analogico utilizzando blocchi che rappresentano sistemi semplici:

• Amplificatore con guadagno $k$: $G(s)=k$
• Integratore $G(s)=1/s$
• Sommatore

Esistono due (???) strutture standard

Se si considera l'equazione differenziale che descrive il sistema espressa come

$x^{(n)}(t)=-a_{n-1}x^{(n-1)}(t)-\cdots -a_{1}x'(t)-a_{0}x(t)+b_{n}u^{(n)}(t)+\cdots +b_{1}u'(t)+b_{0}u(t)$ è possibile utilizzare un sommatore per ottenere $x^{(n)}(t)$, $n$ integratori in serie per ottenere $x^{(n-1\cdots 1)}$ e $x(t)$, dei guadagni $a_{n-1}\cdots a_{0}$ e $b_{n}\cdots b_{0}$ per ottenere i termini a secondo membro dell'equazione; si porta nel sommatore le uscite degli integratori moltiplicate per i relativi coefficienti e si manda l'ingresso $u(t)$ nel sommatore (anch'esso moltiplicato per i suoi coefficienti)

L'uscita del sistema si ottiene sommando le uscite degli integratori, appositamente moltiplicate

Un sistema rappresentato in questo modo, portato in variabili di stato, viene ad essere espresso in forma canonica di controllabilità. Per ricavare rapidamente il diagramma dall'equazione differenziale, si esprimono le derivate $f^{(i)}(t)$ con $s^{i}f(t)$, quindi si divide per $s$ più volte per portarle tutte a denominatore, si raccoglie $1/s$ e si ottiene un'equazione che rappresenta la struttura del circuito

Variabili di stato

Un sistema MIMO lineare tempoinvariante si descrive facilmente utilizzando le matrici

Un sistema può essere descritto da un'equazione differenziale o da un sistema di equazioni differenziali in cui le funzioni incognite $x_{1}(t)\cdots x_{n_{x}}(t)$ sono dette variabili di stato e sono il minimo numero di variabili tali che la conoscenza di queste ad un istante $t_{0}$ è sufficiente a determinare lo stato del sistema per ogni istante successivo

i valori $x_{1}(t_{0})\cdots x_{n_{x}}(t_{0})$ rappresentano le condizioni iniziali del sistema

Un sistema lineare può essere espresso utilizzando le matrici

$\left\{{\begin{array}{l}x'(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\\\end{array}}\right.$

dove le matrici $A,B,C,D$ sono tali che $A\in \Re ^{n_{x}\times n_{x}}$, $B\in \Re ^{n_{x}\times n_{u}}$, $C\in \Re ^{n_{y}\times n_{x}}$, $D\in \Re ^{n_{y}\times n_{u}}$; la matrice $A$ è detta matrice di stato.

Lo stato in funzione del tempo (o movimento dello stato) è in generale

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-k)}Bu(k)dk$ dove $\Phi =e^{A(t-t_{0})}$ è la matrice di transizione dello stato di un sistema lineare.

L'uscita del sistema è

$y(t)=Ce^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-k)}Bu(k)dk+Du(t)$

Gli stati di equilibrio di un sistema lineare in variabili di stato sono le soluzioni dell'equazione $Ax_{e}+Bu=0$ quando l'ingresso è costante.

Se la matrice $A$ è invertibile allora lo stato di equilibrio è unico e corrisponde allo stato e all'uscita

$\left\{{\begin{array}{l}x_{e}=-A^{-1}Bu\\y_{e}=(-CA^{-1}B+D)u\\\end{array}}\right.$

la matrice $D-CA^{-1}B$ rappresenta il guadagno statico del sistema che nel caso di sistemi SISO si indica con $\rho$ e costituisce il rapporto tra l'uscita e l'ingresso quanto tutte le variabili del sistema, ingresso e stato, sono costanti

Soluzione del sistema in variabili di stato

L'unico passo non banale nella soluzione di un sistema in variabili di stato consiste nella valutazione della matrice di transizione dello stato $\Phi =e^{A(t-t_{0})}$ che è possibile risolvere utilizzando la trasformata di Laplace o portando la matrice $A$ in forma diagonale.

Se consideriamo il sistema a ingresso nullo $x'(t)=Ax(t)$ e trasformiamo entrambi i membri, si ottiene $sX(s)-x(t_{0})=AX(s)$, ovvero $X(s)=(sI-A)^{-1}x(t_{0})$; e quindi antitrasformando si trova che

$x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{(sI-A)^{-1}\right\}x(t_{0})$

Se consideriamo il sistema con ingresso non nullo, con lo stesso metodo, otteniamo

$x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{(sI-A)^{-1}\right\}x(t_{0})+{\mathcal {L}}^{-1}\left\{(sI-A)^{-1}BU(s)\right\}$

Utilizzando le trasformazioni lineari e portando la matrice di stato in forma diagonale o a blocchi di Jordan, la valutazione di $e^{A(t-t_{0})}$ è più semplice.

Matrici

Alcuni richiami sulle matrici ...

Gli autovalori di una matrice $A$ sono le radici $\lambda _{i}$ dell'equazione

$|\lambda I-A|=0$

radici multiple corrispondono ad autovalori con molteplicità algebrica maggiore di uno.

Ad ogni autovalore $\lambda _{i}$ corrisponde un autovettore $v_{i}$ tale che

$(\lambda _{i}-A)v_{i}=0$

Per ogni autovalore di molteplicità algebrica $n>1$ esistono $n-1$ autovettori generalizzati che si determinano ripetendo $n-1$ volte l'equazione precedente sostituendo a 0 l'opposto dell'ultimo autovettore trovato.

$(\lambda _{i}-A)v_{i}=-v_{i-1}$

Si dice molteplicità geometrica di un autovalore il numero di autovettori linearmente indipendenti ad esso associati corrispondenti alla dimensione del nullo di A ($N(A)$) (?)

Il rango di una matrice $r\{A\}$ è pari al numero di righe linearmente indipendenti, valgono le seguenti proprietà:

• $r\{A\}$ è uguale al numero di colonne o righe linearmente indipendenti
• $r\{A\}$ è uguale al rango della matrice trasposta di $A$: $r\{A\}=r\{A^{T}\}$
• $r\{A\}$ è minore del numero di colonne e del numero di righe della matrice
• se la matrice è quadrata $\left(A\in M^{n\times n}\right)$ e il suo rango è massimo ($r\{A\}=n$), allora è invertibile
• il rango è inveriante rispetto a pre o post moltiplicazioni per matrici non singolari (come le matrici in una similitudine)
• il rango del prodotto di due matrici è minore dei ranghi di ciascuna delle due

Cambiamento di coordinate

Le matrici $A$, $B$, $C$, $D$ (matrici rappresentative del sistema) rappresentano una trasformazione lineare (similitudine) dallo spazio di $x$ e $u$ a quello di $x'$

È possibile cambiare sistema di riferimento applicando una trasformazione lineare alla matrici rappresentative del sistema

Applicando una trasformazione $M$ al sistema si ottiene

$\left\{{\begin{array}{l}x_{M}'(t)=M^{-1}AMx_{M}(t)+M^{-1}Bu(t)\\y(t)=CMx_{M}(t)+Du(t)\\\end{array}}\right.$ dove $M$ è una matrice quadrata e $x_{M}(t)$ è un nuovo vettore di stato tale che $x(t)=Mx_{M}(t)$.

Una matrice quadrata $M$ rappresenta la stessa trasformazione lineare di una matrice $M'=T^{-1}MT$ se $T$ non è singolare , due matrici simili hanno stesso polinomio caratteristico e stessi autovalori.

È possibile scegliere $M$ in modo da rendere $M^{-1}AM$ in una forma che consenta di effettuare meglio calcoli, diagonale (si indica con $\Lambda$) o in forma di Jordan ($J$)

La matrice $\Lambda$ è diagonale e gli elementi sulla diagonale sono gli autovalori di $A$

La matrice a blocchi di Jordan è diagonale, tranne degli 1 al di sopra degli elementi della diagonale (che corrispondono ad autovettori linearmente dipendenti), e gli elementi sulla diagonale sono gli autovalori di $A$ e gli $1$ sulla diagonale superiore sono in corrispondenza degli autovettori generalizzati che sono linearmente dipendenti (???).

Per portare una matrice in forma diagonale o di Jordan si usa la trasformazione

$T_{diag}=[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}]$ dove $v_{1\cdots n}$ sono gli autovettori (intesi come vettori-colonna) della matrice (si può costruire $T$ anche con gli autovettori sinistri messi per righe)

Esponenziale di una matrice

Per ogni matrice quadrata $A\in \Re ^{n\times n}$ e ogni scalare $t\geq 0$ è definita la matrice esponenziale

$e^{At}=I+At+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots$ estendendo la definizione di esponenziale come serie valida per gli scalari.

Per il teorema di Cayley-Hamilton , qualunque matrice quadrata $A$ soddisfa la sua equazione caratteristica (il suo polinomio caratteristico eguagliato a zero)

$A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I=0$ e quindi la serie necessaria per il calcolo dell'esponenziale si riduce ad una somma finita, in quanto tutte le potenze da $A^{n}$ in poi possono essere espresse come combinazione lineare di $A^{0}\cdots A^{n-1}$

$e^{At}=h_{0}(t)I+h_{1}(t)At+h_{2}(t){\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+\cdots +h_{n-1}(t){\frac {A^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}}$

dove i coefficienti $h_{0}(t)\cdots h_{n-1}(t)$ si possono ricavare utilizzando il determinante di Vandermonte

$\left({\begin{array}{ccccc}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\cdots &\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\cdots &\lambda _{2}^{n-1}\\1&\lambda _{3}&\lambda _{3}^{2}&\cdots &\lambda _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\cdots &\lambda _{n}^{n-1}\\\end{array}}\right)\left[{\begin{array}{c}h_{0}(t)\\h_{1}(t)\\h_{2}(t)\\\vdots \\h_{n-1}(t)\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}e^{\lambda _{1}t}\\e^{\lambda _{2}t}\\e^{\lambda _{3}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{array}}\right]$

È possibile calcolare l'esponenziale di una matrice avvalendosi della trasformata di Laplace $e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{(sI-A)^{-1}\right\}$

Oppure se la matrice è in forma diagonale e $\lambda _{1}\cdots \lambda _{n}$ sono i suoi autovalori (e quindi gli elementi della diagonale principale) allora

$e^{\Lambda t}=\left({\begin{array}{cccc}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&e^{\lambda _{n}t}\\\end{array}}\right)$

Se la matrice è in forma di Jordan, per ogni blocco di Jordan che si ottiene con ognuno degli autovalori il suo esponenziale è

$e^{Jt}=\left({\begin{array}{ccccc}e^{\lambda _{i}t}&te^{\lambda _{i}t}&{\frac {t^{2}}{2!}}e^{\lambda _{i}t}&\cdots &{\frac {t^{k-1}}{(k-1)!}}e^{\lambda _{i}t}\\0&e^{\lambda _{i}t}&te^{\lambda _{i}t}&\cdots &{\frac {t^{k-2}}{(k-2)!}}e^{\lambda _{i}t}\\0&0&e^{\lambda _{i}t}&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&e^{\lambda _{i}t}\\\end{array}}\right)$

Forma canonica di controllo

Dato un sistema in variabili di stato di definisce forma canonica di controllo il sistema simile al sistema dato $x'=Ax+Bu$ in cui

$A=\left({\begin{array}{cccccc}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&&0\\0&0&0&1&&0\\\vdots &&&&\ddots &\\0&0&0&0&0&1\\-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}&-a_{3}&\cdots &-a_{n-1}\\\end{array}}\right)$

$B=\left[{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\1\\\end{array}}\right]$

$C=[b_{0}-a_{0}b_{n},b_{1}-a_{1}b_{n},\cdots ,b_{n-1}-a_{n-1}b_{n}]\qquad D=[b_{n}]$

Dove si suppone che $n_{z}=n_{p}$ (eventualmente si aggiungono coefficienti nulli)

Questa forma è tale che per qualunque valore di $a_{0..n}$ il sistema risulta controllabile; può essere ricavata direttamente dal diagramma analogico applicato all'equazione differenziale che descrive il sistema (????)

Forma canonica di osservabilità

Dato un sistema in variabili di stato di definisce forma canonica di osservabilità il sistema simile al sistema dato $x'=Ax+Bu$ in cui

$A=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&0&\cdots &-a_{0}\\1&0&0&0&&-a_{1}\\0&1&0&0&&-a_{2}\\\vdots &&&&\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&-a_{n-1}\\\end{array}}\right)$

$B=\left[{\begin{array}{c}b_{0}-a_{0}b_{n}\\b_{1}-a_{1}b_{n}\\\vdots \\b_{n-1}-a_{n-1}b_{n}]\\\end{array}}\right]$

$C=[0,\cdots ,0,1]\qquad D=[b_{n}]$

Dove si suppone che $n_{z}=n_{p}$ (eventualmente si aggiungono coefficienti nulli).

Questa forma è tale che per qualunque valore di $a_{0..n}$ il sistema risulta osservabile.

Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento ingresso-uscita $G(s)$ di un sistema lineare SISO è definita come la funzione tale che

$Y(s)=G(s)U(s)$ dove $U(s)$ e $Y(s)$ rappresentano la trasformata di Laplace dell'ingresso $u(t)$ e dell'uscita $y(t)$; è in generale esprimibile da un rapporto di polinomi in $s$, ma sono possibili varie forme

• Funzione di trasferimento in forma polinomiale

$G(s)={\frac {b_{n_{z}}s^{n_{z}}+b_{n_{z}-1}s^{n_{z}-1}+\cdots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n_{p}}+a_{n_{p}-1}s^{n_{p}-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}}$

• Funzione di trasferimento in forma poli-zeri

$G(s)=\rho {\frac {z_{1}z_{2}\cdots z_{n_{z}}}{p_{1}p_{2}\cdots p_{n_{p}}}}{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{n_{z}})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n_{p}})}}$

• Funzione di trasferimento in forma di Bode

$G(s)=\rho {\frac {(\tau _{1}s+1)(\tau _{2}s+1)\cdots (\tau _{n_{z}}s+1)}{s^{g}(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)\cdots (T_{n_{p}-g}s+1)}}$

I simboli utilizzati rappresentano:

• $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n_{p}}$ sono detti poli della funzione di trasferimento;
• $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n_{z}}$ sono gli zeri;
• $n_{p}$ è il numero dei poli e $n_{z}$ il numero degli zeri;
• $T$ e $\tau$ sono gli inversi dei poli e degli zeri non nulli (detti anche costanti di tempo) $T_{i}=1/p_{i}$ e $\tau _{i}=1/z_{i}$;
• $g$ è il grado del sistema, il numero di poli nulli;
• $\rho$ rappresenta qui il guadagno generalizzato

del sistema, ovvero il guadagno per frequenze minori delle frequenze dei poli e degli zeri del sistema (se nel sistema non si considerano i poli a frequenza nulla).

I poli sono gli opposti delle del polinomio caratteristico ed influenzano la stabilità del sistema, poli negativi conducono a radici positive.

Il denominatore della funzione di trasferimento $s^{n_{p}}+a_{n_{p}-1}s^{n_{p}-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}$ rappresenta il polinomio caratteristico del sistema.

Gli zeri di un sistema rappresentano gli ingressi $e^{z_{1\cdots n_{z}}t}$ per cui il sistema ha uscita nulla, questa è detta proprietà bloccante degli zeri

Poiché i coefficienti $a_{n_{p}}\cdots a_{0}$ e $b_{n_{z}}\cdots b_{0}$ sono reali, i poli e gli zeri di un sistema (che sono considerati talvolta le radici dei polinomi a numeratore e a denominatore della funzione di trasferimento, talvolta i loro opposti) sono reali oppure complessi coniugati.

Un sistema è detto a sfasamento minimo se non ha poli o zeri negativi (instabili) o immaginari puri (eccetto siano nulli); in questo caso la variazione di fase totale tra la pulsazione nulla e infinita è $(n_{p}-n_{z})\pi /2$, il valore della funzione di trasferimento non è mai zero o infinito per pulsazioni limitate non nulle.

La funzione di trasferimento è invariante rispetto a trasformazioni lineari e dipende dalla sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema

La trasformata di Laplace

È definita per funzioni reali $f(t)$ la trasformata di Laplace

${\mathcal {L}}\left\{\cdot \right\}$ come funzione della variabile complessa $s=\sigma +j\omega$ secondo la formula

$F(s)=\int _{0^{-}}^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$

$f(t)$ deve essere definita almeno per $t\geq 0$

Il minimo valore di $s$, indicato con $\sigma _{0}$ per cui la trasformata esiste è detto ascissa di convergenza.

L'operazione trasforma una funzione in un altro spazio le cui basi sono le funzioni $e^{st}$ ovvero $e^{\sigma +j\omega }=e^{\sigma }(\cos {\omega }+j\sin {\omega })$

sono quindi trasformabili tutte le funzioni che possono essere espresse come somma di funzioni sinusoidali esponenzialmente smorzate, che includono le funzioni esponenziali semplici, lineari e sinusoidali

L'operazione inversa ${\mathcal {L}}^{-1}\left\{\cdot \right\}$ è $f(t)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma _{1}-j\infty }^{\sigma _{1}+j\infty }F(s)e^{st}ds$ dove $\sigma _{1}$ è un qualsiasi valore maggiore di $\sigma _{0}$

Teorema del valore finale

Se $f(t)$ ha trasformata $F(s)$ razionale (o anche solo se esiste il limite a primo membro) con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore e poli negativi o nulli, allora $\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)$

Teorema del valore iniziale

Se $f(t)$ ha trasformata $F(s)$ razionale (o anche solo se $f(0^{+})$ esiste) con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, allora $f(0^{+})=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)$ $\sigma _{0}$ deve essere minore di 0 altrimenti $F(s)$ non è definita in 0 e il teorema non è applicabile

Risposta impulsiva

La risposta impulsiva di un sistema è definita come l'uscita $g_{i}(t)$ del sistema quando si ha in ingresso una delta di Dirac $u(t)=\delta (t)$ su un singolo ingresso $u_{i}$ ; si definisce risposta all'impulso dello stato $g_{x-i}(t)=e^{At}B_{i}$ e risposta all'impulso dell'uscita $g_{y-i}(t)=Ce^{At}B_{i}+D\delta (t)$

Si definisce anche la risposta al gradino $g_{gr}(t)$, la cui derivata è la risposta impulsiva, come la risposta del sistema ad un ingresso a gradino unitario $g_{gr-i}(t)=C\int _{t_{0}}^{t}e^{At-\tau }B_{i}d\tau =CA^{-1}{\big (}e^{At}-I{\big )}B_{i}$ dove $\int _{0}^{t}e^{A\tau }d\tau =A^{-1}(e^{At}-I)$ per analogia con gli scalari

Risposta in frequenza

Se si restringe la funzione di trasferimento di un sistema sui valori di $s$ immaginari puri positivi, si ottiene la risposta in frequenza del sistema $G(j\omega )$ che rappresenta l'uscita del sistema quando ha in ingresso una sinusoide.

Essa è definita per tutti i valori della pulsazione $\omega$ positivi che non siano poli immaginari puri di $G(s)$

Quindi se $u(t)=\sin \omega t$, allora si ha che $y(t)=|G(j\omega )|\sin(\omega t+\angle G(j\omega ))$

La risposta in frequenza è una funzione a immagine complessa $\Im \rightarrow \mathbb {C}$; il modulo della risposta in frequenza rappresenta la variazione del modulo dell'uscita in funzione della pulsazione dell'ingresso; la fase della risposta in frequenza rappresenta la variazione della fase dell'uscita in funzione della pulsazione dell'ingresso

si può rappresentare in varie forme corrispondenti a quelle della funzione di trasferimento, le più comuni sono:

• Risposta in frequenza in forma poli-zeri

$G(j\omega )=\rho {\frac {z_{1}z_{2}\cdots z_{n_{z}}}{p_{1}p_{2}\cdots p_{n_{p}}}}{\frac {(j\omega +z_{1})(j\omega +z_{2})\cdots (j\omega +z_{n_{z}})}{(j\omega +p_{1})(j\omega +p_{2})\cdots (j\omega +p_{n_{p}})}}$

• Risposta in frequenza in forma di Bode

$G(j\omega )=\rho {\frac {(j\omega \tau _{1}+1)(j\omega \tau _{2}+1)\cdots (j\omega \tau _{n_{z}}+1)}{(j\omega )^{g}(j\omega T_{1}+1)(j\omega T_{2}+1)\cdots (j\omega T_{n_{p}-g}+1)}}$

• Risposta in frequenza in modulo e fase

$|G(j\omega )|={\frac {\rho }{\omega ^{g}}}{\sqrt {\frac {(\tau _{1}^{2}\omega ^{2}+1)(\tau _{2}^{2}\omega ^{2}+1)\cdots (\tau _{n_{z}}^{2}\omega ^{2}+1)}{(T_{1}^{2}\omega ^{2}+1)(T_{2}^{2}\omega ^{2}+1)\cdots (T_{n_{p}-g}^{2}\omega ^{2}+1)}}}$

$\angle G(j\omega )=-{\frac {\pi }{2}}g\quad +\quad \tan ^{-1}\omega \tau _{1}+\cdots +\tan ^{-1}\omega \tau _{n_{z}}\quad +\quad -\tan ^{-1}\omega T_{1}-\cdots -\tan ^{-1}\omega T_{n_{p}-g}$

se si vuole valutare la risposta in frequenza per pulsazioni lontane dai poli e dagli zeri, è possibile trascurare poli e zeri a pulsazioni elevate (tali che $1+\tau j\omega \approx 1$) e semplificare l'espressione di poli e zeri a pulsazioni inferiori (tali che $1<<\tau j\omega$) ottenendo la risposta in frequenza semplificata $G(j\omega )={\frac {\rho }{(j\omega )^{g}}}{\sqrt {{\frac {(\tau _{1}j\omega )(\tau _{2}j\omega }{)}}\cdots (\tau _{l}j\omega )}}{(T_{1}j\omega )(T_{2}j\omega )\cdots (T_{L-g}j\omega )}$ che è valida per pulsazioni $1/\tau _{l},1/T_{L}<<\omega <<1/\tau _{l+1},1/T_{L+1}$;

Se si vuole valutare il modulo a frequenze maggiori di un numero pari di poli e zeri ($l=L+g$); ovvero in corrispondenza di un tratto a guadagno costante, è possibile semplificare anche $\omega$ dall'espressione della risposta in ampiezza, ottenendo la forma ulteriormente semplificata $|G(j\omega )|=\rho {\frac {\tau _{1}\tau _{2}\cdots \tau _{l}}{T_{1}T_{2}\cdots T_{L}}}$

La trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier ${\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}$ è definita come la trasformata di laplace per funzioni reali $f(t)$ ma prendendo come base le funzioni sinusoidali

$F(j\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

l'operazione inversa ${\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}$ è $f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

Passaggio tra le varie rappresentazioni

Dalle equazioni differenziali alle variabili di stato

Se il sistema è descritto da un'equazione differenziale e se si sceglie come variabili di stato

$x_{0\cdots n-1}(t)=x^{(0\cdots n-1+1)}(t)+a_{0\cdots n-1}y(t)+b_{0\cdots n-1}u(t)$

$x_{n}=y(t)-b_{n}u(t)$ il sistema viene descritto in forma canonica di osservabilità

Dalle variabili di stato alla funzione di trasferimento

Se si considera il sistema espresso in variabili di stato in forma canonica e si applica la trasformata di Laplace a entrambi i membri delle due equazioni, con alcuni passaggi ( poiché $(det\{(sI-A)\}$ non è identicamente nullo per ogni $s$) si ottiene: $\left\{{\begin{array}{l}X(s)=(sI-A)^{-1}x(t_{0})+(sI-A)^{-1}BU(s)\\Y(s)=C(sI-A)^{-1}x(t_{0})+{\big (}C(sI-A)^{-1}B+D{\big )}U(s)\\\end{array}}\right.$

La funzione di trasferimento rappresenta l'uscita divisa per l'ingresso con stato iniziale nullo, quindi $G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$ in questo caso, poiché il sistema in variabili di stato è in generale MIMO, la funzione di trasferimento è una matrice con termini che sono funzioni razionali fratte con al denominatore il polinomio caratteristico della matrice $A$

Conoscendo le matrici $B,C,D$ è possibile ricavare dalla funzione di trasferimento ingresso-uscita anche la funzione di trasferimento ingresso-stato

Dalle variabili di stato alla risposta impulsiva

Conoscendo le matrici rappresentative del sistema $A,B,C,D$, la risposta impulsiva si ricava in modo simile alla funzione di trasferimento $g(t)=Ce^{At}B+D\delta (t)$ è possibile ricavare la risposta impulsiva anche antitrasformando la funzione di trasferimento