Meccanica quantistica/Momento angolare

Operatore momento angolare

Operatore del momento angolare di una particella:

${\widehat {\mathbf {L} }}=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$

Autovalori del quadrato del momento angolare:

$\mathbf {L} ^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)\qquad (l=0,1,...)$

Autovalori della componente z del momento angolare:

$L_{z}=\hbar m\qquad (m=-l,-l+1,...,l)$

Le autofunzioni comuni agli operatori ${\widehat {\mathbf {L} }}^{2}$ e ${\widehat {L}}_{z}$ sono le armoniche sferiche, $Y_{lm}(\theta ,\varphi )$.

Composizione dei momenti angolari

Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari $l_{1}$ e $l_{2}$:

$\psi _{lm}=\sum C_{m_{1}m_{2}}^{lm}\psi _{l_{1}m_{1}}^{(1)}\psi _{l_{2}m_{2}}^{(2)}$

Le quantità $C_{m_{1}m_{2}}^{lm}$ sono i coefficienti di Clebsch-Gordan.

Il momento angolare l può assumere soltanto dei valori compresi tra $|l_{1}-l_{2}|$ e $l_{1}+l_{2}$, e $m=m_{1}+m_{2}$.

Tensori sferici

Un tensore sferico è un insieme di quantità $f_{kq}$ che nelle rotazioni si trasformano come le funzioni armoniche sferiche $Y_{kq}$.

A un tensore sferico $f_{kq}$ corrisponde un tensore simmetrico irriducibile di rango k. In particolare, a un tensore sferico $f_{1m}$ corrisponde un vettore f:

$f_{10}=if_{z},\qquad f_{1,\pm 1}=\mp {\frac {i}{\sqrt {2}}}(f_{x}\pm if_{y})$

Teorema di Wigner-Eckart

Gli elementi di matrice di un tensore sferico hanno la forma seguente:

$<n'l'm'|f_{kq}|nlm>=\sum C_{m'q}^{lm}<n'l'||f_{k}||nl>$

dove $<n'l'|f_{k}|nl>$ sono gli elementi di matrice ridotti, indipendenti da $m$, $m'$ e $q$.

Per $k=1$ si ottengono delle espressioni per gli elementi di matrice di un vettore f. Gli elementi di matrice non nulli di $f_{z}$ corrispondono a delle transizioni $m\rightarrow m$, e gli elementi di matrice di $f_{x}$ e $f_{y}$ a delle transizioni $m\rightarrow m\pm 1$.

Spin

Il momento angolare totale $\mathbf {J}$ di una particella è composto dal momento orbitale $\mathbf {L}$ e dallo spin $\mathbf {S}$ . Il quadrato dello spin ha autovalori $\mathbf {S} ^{2}=\hbar ^{2}s(s+1)$, dove $s$ può essere un numero intero o semintero. La componente z dello spin ha autovalori $\hbar s_{z}$, dove $s_{z}=-s,-s+1,...,s$.

Nel caso di una particella con spin 1/2 (ad esempio un elettrone) ${\widehat {\mathbf {S} }}=\hbar {\widehat {\boldsymbol {\sigma }}}/2$, dove ${\widehat {\boldsymbol {\sigma }}}$ è l'insieme delle matrici di Pauli:

${\widehat {\sigma }}_{x}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right),\qquad {\widehat {\sigma }}_{y}=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right),\qquad {\widehat {\sigma }}_{z}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$