*<math>|x| < 0 \Rightarrow \max\{x,-x\} < 0 </math> ed è ovviamente assurdo, perché se <math>x</math> è positivo, il massimo tra <math>x</math> e <math>-x</math> è <math>x > 0</math>. Se <math>x</math> è negativo, il massimo tra <math>x <0</math> e <math>-x > 0</math> è <math>-x</math>, che è appunto maggiore di 0.
*<math>|x| < 0 \Rightarrow \max\{x,-x\} < 0 </math> ed è ovviamente assurdo, perché se <math>x</math> è positivo, il massimo tra <math>x</math> e <math>-x</math> è <math>x > 0</math>. Se <math>x</math> è negativo, il massimo tra <math>x <0</math> e <math>-x > 0</math> è <math>-x</math>, che è appunto maggiore di 0.
Riguardo la disuguaglianza triangolare, abbiamo:
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, abbiamo:
*se uno dei due è nullo (ad esempio <math>y</math> otteniamo
*se uno dei due è nullo (ad esempio <math>y</math> otteniamo
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.
Valore assoluto
Sia . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di il numero reale denotato con tale che
.
Proposizione (proprietà del valore assoluto)
, si ha
(disuguaglianza triangolare)
Dimostrazione
Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:
ed è ovviamente assurdo, perché se è positivo, il massimo tra e è . Se è negativo, il massimo tra e è , che è appunto maggiore di 0.
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, abbiamo:
se uno dei due è nullo (ad esempio otteniamo
altrimenti
Parte intera
Sia . Si definisce parte intera di il numero intero, denotato con , tale che:
.
Mantissa
Sia e parte intera di . Si definisce il mantissa di il numero reale, denotato con , tale che:
Induzione matematica e insiemi induttivi
Consideriamo un insime . Si dice induttivo se
Denotiamo con l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di .
Insieme dei numeri naturali
In altre parole, è il più piccolo degli insiemi induttivi.
Teorema (principio di induzione matematica)
Sia una proposizione logicamente significativa. Se
è vera
allora è vera per ogni .
Dimostrazione
Sia l'insieme degli per cui valgano le condizioni 1 e 2. è allora un insieme induttivo e sappiamo che è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque . D'altra parte si ha, per ipotesi, che . Dunque .
Importanti considerazioni finali
Lemma
non è superiormente limitato.
Dimostrazione del Lemma
Infatti, se lo fosse, per la completezza di esisterebbe un reale tale che . Però, siccome è il minore di tutti i maggioranti, non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno si ha che e dunque e abbiamo finito, perché l'ipotesi che sia un maggiorante è contraddetta.
Teorema (proprietà di Archimede)
è archimedeo, cioè
Dimostrazione
Per assurdo, . Dunque ed sarebbe superiormente limitato. Impossibile.
Teorema (densità dei razionali nei reali)
Siano e sia , allora
Dimostrazione
Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che da cui si evince facilmente che . Poniamo, per alleggerire le notazioni, . Poiché è archimedeo allora esisterà un tale che