Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Tutti i connettivi

Date due sentenze, abbiamo quattro combinazioni. Poiché ad ogni combinazione può corrispondere un valore di Vero o Falso, tutte le possibili combinazioni sono sedici. Quindi esistono 16 possibili connettivi per sentenze composte da due frasi.

Costruiamo la tavola di verità per tutti i connettivi possibili.

A	B	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15
Vero	Vero	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
Vero	Falso	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T
Falso	Vero	F	F	F	F	T	T	T	T	F	F	F	F	T	T	T	T
Falso	Falso	F	F	F	F	F	F	F	F	T	T	T	T	T	T	T	T

Questo è l'elenco completo. Possiamo notarne alcuni che già conosciamo, o comunque interessanti.

• 01: è la congiunzione AND ($\land$).
• 07: è la disgiunzione OR ($\lor$).
• 13: è l'implicazione ($\to$).
• 09: è l'equivalenza o doppia implicazione ($\leftrightarrow$), cioè $(A\to B)\land (B\to A)$.
• 00: è la costante Falso ($\bot$).
• 15: è la costante Vero ($\top$).

Altri connettivi interessanti:

• 14: NAND ($\uparrow$), cioè la negazione della congiunzione, chiamato anche connettivo di Sheffer.
• 06: XOR ($\veebar$), disgiunzione esclusiva, vera se e solo se una e una sola delle due sentenze è vera.
• 08: NOR ($\downarrow$), la negazione della disgiunzione.

Il connettivo NAND è funzionalmente completo, cioè da questo solo connettivo è possibile derivare tutti gli altri.

$A\uparrow A\equiv \neg A$

$A\uparrow A\equiv \neg A$

$(A\uparrow B)\uparrow (A\uparrow B)\equiv A\land B$

$(A\uparrow A)\uparrow (B\uparrow B)\equiv A\lor B$

$(A\uparrow B)\uparrow (A\uparrow B)\equiv A\land B$

$(A\uparrow B)\uparrow A\equiv A\to B$

Potete provare con le tavole di verità che questo sia effettivamente vero. Provate anche a cercare altri connettivi che hanno la stessa proprietà.

Voci correlate

• Dimostrazione di completezza di insiemi di connettivi