Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/Statica e dinamica del punto materiale"

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Un punto materiale di massa <math>m\ </math> viene lanciato a partire dalla posizione <math>A\ </math> con velocità iniziale <math>v_o\ </math> lungo un piano inclinato di altezza <math>h\ </math> con angolo <math>\theta\ </math> rispetto alla direzione orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra punto e piano inclinato vale <math>\mu_d\ </math>.
 
Calcolare: a) L'accelerazione del moto (in modulo). b) Il tempo che impiega il punto a raggiungere <math>B\ </math> (punto più in alto). c) Il valore del coefficiente di attrito dinamico per il quale il punto materiale arrivaarriverebbe in <math>B\ </math> con velocità nulla.
 
(dati del problema <math>v_o=4.2\ m/s</math>, <math>\theta=\pi /5\ </math>, <math>h=60\ cm\ </math>,
<math>v(t)=\frac {F_o}Mt-\frac k{2M}t^2\ </math>
 
<math>v(Dt)=1012.2\ m/s\ </math>
 
Integrando nel tempo l'espressione della velocità:
<math>s(t)=\frac {F_o}{2M}t^2-\frac k{6M}t^3\ </math>
 
<math>s(Dt)=5563\ m\ </math>
 
 
 
L'attrito tra la piattaforma e l'oggetto deve essere tale da una parte a trattenere lungo la traiettoria l'oggetto che è soggetto ad una forza tangenziale pari a:
:<math>M\alpha l=6\ N</math>
 
<math>M\alpha l=6\ N</math>
 
mentre la forza di attrito massimo vale:
:<math>\mu_s Mg=11.7\ N</math>
 
<math>\mu_s Mg=11.7\ N</math>
 
Tale forza è trascurabile rispetto alla tensione della fune che è la forza centripeta, la quale a causa dell'aumento lineare della velocità angolare è sempre maggiore fino a spezzare la fune. Infatti la fune si spezza quando:
:<math>M\omega^2 l=T_{max}\ </math>
 
<math>M\omega^2 l=T_{max}\ </math>
 
cioè per:
:<math>\omega_1=\sqrt {\frac {T_{max}}{Ml}}=12.9\ rad/s</math>
 
<math>\omega_1=\sqrt {\frac {T_{max}}{Ml}}=12.9\ rad/s</math>
 
Tale velocità angolare viene raggiunta dopo un tempo:
:<math>t_1=\frac {\omega_1}{\alpha}=12.9\ s</math>
 
In realtà vi è anche un piccolo contributo alla forza centripeta dovuto all'attrito statico, dette <math>f_{at}\ </math> e <math>f_{ar}\ </math>, le forze di attrito tangenziali e radiali:
<math>t_1=\frac {\omega_1}{\alpha}=12.9\ s</math>
:<math> \sqrt {f_{at}^2+f_{ar}^2}\le \mu_s Mg</math>
 
In realtà vi è anche un piccolo effetto dovuto all'attrito statico, dette <math>f_{at}\ </math> e <math>f_{ar}\ </math>, le forze di attrito tangenziali e radiali:
 
<math> \sqrt {f_{at}^2+f_{ar}^2}\le \mu_s Mg</math>
 
Ma <math>f_{at}=M\alpha l\ </math> quindi: <math>f_{armax}=10\ N\ </math> e di conseguenza:
:<math>\omega_2=\sqrt {\frac {T_{max}+f_{armax}}{Ml}}=13\ rad/s\ </math>
 
<math>\omega_2=\sqrt {\frac {T_{max}+f_{armax}}{Ml}}=13\ rad/s\ </math>
 
La velocità angolare viene raggiunta dopo un tempo:
:<math>t_2=\frac {\omega_2}{\alpha}=13\ s\ </math>
 
<math>t_2=\frac {\omega_2}{\alpha}=13\ s\ </math>
 
===7. Piano inclinato ===
 
a) L'equazione del moto nella direzione del piano inclinato vale:
:<math>m\frac {d^2x}{dt^2}=-mg(\sin \theta +\mu_d\cos \theta)\ </math>
 
<math>m\frac {d^2x}{dt^2}=-mg(\sin \theta +\mu_d\cos \theta)\ </math>
 
Il moto è decelerato uniformemente con equazione del moto:
:<math>x(t)=v_ot+\frac 12a_ot^2\ </math>
 
<math>x(t)=v_ot+\frac 12a_ot^2\ </math>
 
dove:
:<math>a_o=g(\sin \theta +\mu_d\cos \theta)=7.35\ m/s^2\ </math>
 
<math>a_o=g(\sin \theta +\mu_d\cos \theta)=7.35\ m/s^2\ </math>
 
b) Imponendo che:
:<math>x(t)\sin \theta=h\ </math>
 
<math>x(t)\sin \theta=h\ </math>
 
segue che si ha una equazione di II grado nel tempo:
:<math>-\frac 12 a_ot_1^2+v_ot_1-\frac h{\sin \theta}=0\ </math>
 
<math>-\frac 12 a_ot_1^2+v_ot_1-\frac h{\sin \theta}=0\ </math>
 
con soluzione:
:<math>t_1=\frac {v_o\pm \sqrt{v_o^2-2a_oh/{\sin \theta}}}{a_o}\ </math>
 
Le due soluzioni corrispondono al fatto che se il piano inclinato fosse infinito, il punto materiale arriverebbe una prima volta in <math>B\ </math> (soluzione negativa) e poi supera <math>B\ </math> va alla massima quota e ripassa in discesa in <math>B\ </math>(soluzione positiva). Chiaramente la seconda soluzione
<math>t_1=\frac {v_o\pm \sqrt{v_o^2-2a_oh/{\sin \theta}}}{a_o}\ </math>
 
Le due soluzioni corrispondono al fatto che se il piano inclinato fosse infinito, il punto materiale arriverebbe una prima volta in <math>B\ </math> e poi supera <math>B\ </math> va alla massima quota e ripassa in discesa in <math>B\ </math>. Chiaramente la seconda soluzione
non ha senso fisico in questo caso che il piano inclinato è finito, quindi:
:<math>t_1=\frac {v_o- \sqrt{v_o^2-2a_oh/{\sin \theta}}}{a_o}=0.35\ s\ </math>
 
c)Imponendo che:
 
<math>v_o-a_xt_x=0\ </math>
 
e
 
<math>-\frac 12 a_ot_x^2+v_ot_x=\frac h{\sin \theta}\ </math>
 
Eliminando <math>t_x\ </math> segue che:
 
<math>a_x=\frac 12 \frac {v_o^2}h\sin \theta\ </math>
 
c) Imponendo che:
:<math>v_o-a_xt_x=0\ </math>
definendo <math>t_x\ </math> il tempo che in questo caso impiegherebbe per raggiungere il punto B, ed <math>a_x\ </math> la accelerazione incognita, l'equazione del moto è:
:<math>-\frac 12 a_xt_x^2+v_ot_x=\frac h{\sin \theta}\ </math>
Eliminando <math>t_x\ </math> dalle due equazioni segue che:
:<math>a_x=\frac 12 \frac {v_o^2}h\sin \theta\ </math>
Ma:
:<math>a_x=g(\sin \theta +\mu_x\cos \theta)\ </math>
 
<math>a_x=g(\sin \theta +\mu_x\cos \theta)\ </math>
 
quindi:
:<math>\mu_x=\left(\frac {v_o^2}{2hg}-1 \right)\tan \theta=0.36\ </math>
 
<math>\mu_x=\left(\frac {v_o^2}{2hg}-1 \right)\tan \theta=0.36\ </math>
 
===8. Oscillazione con elastico ===
:<math>z'=\frac {Mg}k\cos (\omega t )\ </math>
:<math>z=\frac {Mg}k\cos (\omega t )+z_o-\frac {Mg}k\ </math>
Che è nel punto più basso quando <math>\cos (\omega t )=-1\ </math>.; Quindiquindi l'allungamento massimo vale:
:<math>l_{max}=l_o+2\frac {Mg}k=3515.7\ cm </math>
Mentre la velocità massima si ha quando <math>|\sin (\omega t )|=1\ </math> e quindi
vale:
 
La tensione del filo e la forza elastica sono la stessa cosa: in questo caso non si ipotizza che il filo sia inestensibile. La forza elastica per cui si spezza il pendolo vale:
:<math>|F_e|=k(2l_o-l_o)=kl_o=25\ N</math>
 
<math>|F_e|=k(2l_o-l_o)=kl_o=25\ N</math>
 
Nel pendolo conico la forza peso compensa esattamente la componente della tensione del filo (in questo caso la forza elastica) nella sua direzione:
:<math>F_e\cos \theta=mg\ </math>
 
:<math>F_e\cos \theta=\arccos {\frac {mg}{F_e}}=1.3\ rad=74^o</math>
 
<math>\theta=\arccos {\frac {mg}{F_e}}=1.3\ rad=74^o</math>
 
D'altro canto la forza centripeta è la componente della tensione del filo (in questo caso la forza elastica):
:<math>m\frac {v_t^2}{R}=F_e\sin \theta\ </math>
 
<math>m\frac {v_t^2}{R}=F_e\sin \theta\ </math>
 
essendo:
:<math>R=2l_o\sin \theta\ </math>
 
<math>R=2l_o\sin \theta\ </math>
 
da cui:
:<math>v_t=\sqrt {\frac {F_e2l_o}{m}}\sin \theta=5.8\ m/s</math>
 
<math>v_t=\sqrt {\frac {F_e2l_o}{m}}\sin \theta=5.8\ m/s</math>
 
===10. Sistema di due masse===
Sostituendo in essa i valori di <math>t_1\ </math>, <math>a_1\ </math> si ha:
:<math>l=\sqrt{2lg(\sin \alpha -\mu \cos \alpha)}\frac 1{\mu}\sqrt {\frac {2l(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}g}-\frac 12 \mu g \frac {2l(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}{\mu^2 g}\ </math>
In tale equazione tutte le variabili si eliminano tranne la pendenza <math>\alpha\ </math>. ePer ilcui valoresi incognito:riduce ilad una funzione del coefficiente di attrito dinamico in funzione della pendenza:
:<math>\mu =\frac {\sin \alpha }{1+ \cos \alpha}=0.58\ </math>
 
:<math>l_1-l_0=\frac {l_2}2 -\frac {l_0}2\ </math>
:<math>l_0=2l_1-l_2=0.2\ m\ </math>
sostituendo nella prima equazione segue che:
:<math>k=\frac{m_1g}{l_1-l_0}=19.6\ N/m\ </math>
 

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