Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox: differenze tra le versioni

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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox (modifica)

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=== 6. Caduta con attrito viscoso ===
Un oggetto viene lasciato cadere, da fermo ad una quota <math>h\ </math>, sotto l'azione combinata della accelerazione di gravità e di una decelerazione proporzionale alla velocità (dovuta all'attrito viscoso) secondo la legge <math>b\cdot v\ </math>. La velocità di regime vale <math>v_f\ </math>. Determinare: a)Dopo quanto tempo la decelerazione dovuta all'attrito viscoso vale 0.9 della accelerazione di gravità (ovviamente con segno opposto); b) a quale quota si trova nel caso a); c) il tempo approssimativo di caduta (la formula esatta è non ottenibile semplicemente).
 
(dati del problema <math>h=10\ m</math>, <math>v_f=4.9\ m/s</math>)
 
 
<span class="noprint">[[#6. Caduta_con_attrito_viscoso_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== 6. Caduta con attrito viscoso ===
<span class="noprint">[[#6. Caduta_con_attrito_viscoso|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
Da dati del problema (notare che <math>v_f\ </math> è negativo se g è diretto verso il basso):
:<math>v_f=\frac gb\ </math>
Quindi:
:<math>b=\frac g{v_f}=2\ s^{-1}\ </math>
Se chiamiamo <math>t_1\ </math> il tempo per cui;
<math>-bv=0.9 g </math>
Ma essendo:
:<math>v=-\frac gb\left( 1-e^{-bt} \right)\ </math>
segue che:
:<math>g\left( 1-e^{-bt_1} \right)=0.9g\ </math>
Cioè:
:<math>bt_1=\ln 10\ </math>
:<math>t_1=1.15\ s</math>
 
b)
 
:<math>h_1=h+\frac gb\left( \frac 1b-t_1-\frac 1be^{-bt_1} \right)=6.6\ m</math>
 
c)
 
Il termine esponenziale nell'espressione ha un valore trascurabile per cui:
:<math>h+\frac gb\left( \frac 1b-t_2 \right)\approx 0\ </math>
Cioè il termine esponenziale è trascurabile.
:<math>t_2=\frac bgh+\frac 1b=2.54\ s</math>
 
Notare che il valore esatto (tenendo conto del termine esponenziale e risolvendo in maniera
numerica per approssimazioni successive) vale:
:<math>t_{2e}=2.5377\ s</math>
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